数学（文）卷·2017届黑龙江省大庆一中高三上学期期末考试（2017 9页

‎ 大庆一中高三年级上学期期末考试 数学(文科)试卷 出题人：石瑶 审题人: 贾桂华 一、选择题 （每题5分,共60分）‎ ‎1.已知是虚数单位，若，则的虚部为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ ‎ A.向左平行移动个长度单位 B.向右平行移动个长度单位 ‎ ‎ C.向左平行移动1个长度单位 D.向右平行移动1个长度单位 ‎4.{}是等差数列，，，则=（ ）‎ ‎ A. 138 B. 135 C. 95 D.23‎ ‎5．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若； ‎ ‎②若；‎ ‎③若；‎ ‎④若m、n是异面直线，‎ 其中真命题是( )‎ ‎ A. ①和② B. ①和③ C． ①和④ D． ③和④‎ ‎6.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为( )‎ ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎8.已知函数，则下列结论正确的是( )‎ ‎ A.若，则 B.函数的图象关于对称 ‎ C.函数的图象与的图象相同 D.函数在上递增 ‎9.设，则数列的通项公式是=( ) ‎ ‎ A. B. C． D．‎ ‎10.矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使平面BAC⊥平面DAC，则四面体 A－BCD的外接球的体积为(　 　)‎ ‎ A . π B. π C. π D. π ‎11.双曲线（，）的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，点为坐标原点，点满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D.3‎ ‎12．已知是偶函数，且在上是增函数，如果在 上恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知，，的夹角为60°，则 ‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎ ‎15.在等比数列{}中，>0，公比∈(0，1)，且，与的 等比中项为2 ,求数列{}的通项公式 ‎ ‎16.中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且 ‎，则 ‎ 三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若,△ABC的面积为， ‎ ‎ 求a的最小值． ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列的公差为1，且成等比数列. （1）求数列的通项公式及其前n项和； （2）若数列的前n项和为，证明 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，，平面, 平面，‎ ‎ ，，.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎ （Ⅱ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在, ‎ 求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为3．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎ (II)是否存在斜率为 ，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点、，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若，在上存在一点，使得成立，‎ ‎ 求的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、第23两个题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，点的极坐标为，圆以 为圆心，4为半径；又直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅰ）求直线和圆的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）试判定直线和圆的位置关系．若相交，则求直线被圆截得的弦长．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式．‎ ‎（Ⅰ）当时，求此不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．‎ ‎ 大庆一中高三年级上学期期末考试数学(文科)试卷答案 一、选择题 ‎ （1）A（2）B（3）A（4）C（5）C（6）B（7）A（8）D（9）A（10）C（11）C（12）D 二、填空题 ‎ （13）（14）（15） / / （16）‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x-）+， ∴2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z． （2）∵f（）=，即：sin（2×-）+=，化简可得：sin（A-）=， 又∵A∈（0，π），可得：A-∈（-，）， ∴A-=，解得：A=， ∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12， ∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）． 故a的最小值为2． 18.（1）解：∵等差数列{an}的公差为1，且a1，a3，a9成等比数列， ∴=a1a9，∴=a1（a1+8），解得a1=1． ∴an=1+（n-1）=n， Sn=． （2）证明：==2， ∴数列{}的前n项和为Tn=2+…+=2＜2． ∴Tn＜2． 19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为 平面，平面，所以. 又因为，,所以平面. 又因为平面，所以平面平面. …………………6分 ‎（Ⅱ）结论：在线段上存在一点,且，使平面. ‎ ‎ 解：设为线段上一点, 且， ‎ ‎ 过点作交于，则.‎ A B C E D FF M ‎ 因为平面,平面，所以.‎ ‎ 又因为，所以，,‎ 所以四边形是平行四边形，则. ‎ ‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ………………12‎ ‎20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为,由已知得. ‎ 设右焦点为，由题意得 ……………………………2分 . ‎ 椭圆的方程为. ………………………………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）直线的方程 ， 代入椭圆方程,得 ‎ ‎ ‎ 由 得……………………………………6分 设点则 ‎ 设、的中点为，则点的坐标为. ………………8分 ‎ 点在线段的中垂线上. ‎ ‎ 化简,得 . ……………………………10分 ‎ ‎ ‎ 所以,存在直线满足题意，直线的方程为 或…12分 ‎ ‎21 解：（Ⅰ）当时，，，切点， ……1分 ‎，， ……3分 曲线在点处的切线方程为：，即. ……4分 ‎（Ⅱ），定义域为，‎ ‎ ……5分 ‎①当，即时，令，‎ 令， ……6分 ‎②当，即时，恒成立， ……7分 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎ 当时，在上单调递增． ……8分 ‎（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点，使得成立，‎ 即在上存在一点，使得，‎ 即函数在上的最小值．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当，即时，在上单调递减，‎ ‎，，‎ ‎，； ……10分 ‎②当，即时，在上单调递增，‎ ‎， ……11分 ‎③当，即时，‎ ‎ ，，‎ 此时不存在使成立． ……12分 综上可得所求的范围是：或． ‎ ‎ ‎ ‎22. （Ⅰ）解：因为直线的参数方程为（为参数）‎ 所以直线的普通方程： ……3分 如图，设圆上任意一点为，则在中，由余弦定理，‎ 得，‎ ‎∴．‎ 化简得，即圆的极坐标方程为．（为参数）．‎ 因为，所以，所以 ‎ 即圆的普通方程为(亦可先求圆心直角坐标) ……6分 ‎（Ⅱ）解：因为圆心M的直角坐标是，圆心M到直线l的距离， …8分 所以直线l和圆相交．直线被圆截得弦长 ……10分 ‎23. （Ⅰ）解：当时， 不等式为.‎ 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点到1，2的距离之和大于 于2.∴或 ∴不等式的解集为. ……5分 注 也可用零点分段法求解．‎ ‎（Ⅱ）解：∵，‎ ‎∴原不等式的解集为R等价于， ∴或，又，‎ ‎∴. ……10‎