湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷 11页

湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三第一次模拟考试数学(理)试卷注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。‎ ‎2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。‎ ‎3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ ‎4. 本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.‎ ‎1. 集合， ，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 n=1，s=1‎ n=n+1‎ 输出s s=s+n s=s+n 结束 开始 是 否 ‎3. 对两个非零向量，命题：向量与向量的夹角为锐角，命题：，则命题是命题的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 已知数列中，，．若右图所示的程序框图 是用来计算该数列的第2020项，则判断框内可填写的条件是 A． B． C． D．‎ ‎5. 若满足约束条件则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎6. 以下四个命题中：‎ ‎①函数关系是一种确定性关系；‎ ‎②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；‎ ‎③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立；‎ ‎④某项测量结果服从正态分布，且，则.‎ 以上命题中，真命题的个数为 ‎ A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 ‎7. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 A. B. 41 C. D. ‎ ‎8.将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是 A．函数的最小正周期为 B．当时，函数为奇函数 C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上的最小值为 ‎9. 关于函数，下列说法正确的是 A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 ‎ ‎10. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎11．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作. 因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为 A．18 B． 24 C．30 D．36‎ ‎12. 若等边△边长为2，边的高为，将△沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.‎ ‎13.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡应发役______人．‎ ‎14.若数列的前项和，则=_________．‎ ‎15.若椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点为坐标原点，且△为正三角形，则椭圆的离心率为_________．‎ ‎16.设函数，，则函数的最大值为_____；‎ 若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是_______．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 在△中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若△的面积，求的最小值．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平 面，为线段的中点，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎ 若抛物线：的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为，且△的面积为．‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗．为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司．假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别为、、，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的．‎ ‎(Ⅰ)若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵。现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，‎ 方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；‎ 方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责．‎ 若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？‎ ‎(Ⅱ)记为该基地得到三家公司购买合同的个数，若，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数，，其中常数．‎ ‎(Ⅰ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若，且，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为：（为参数），的参数方程为：（为参数）．‎ ‎(Ⅰ)化、的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(Ⅱ)若直线的极坐标方程为：，曲线上的点对应的参数，曲线上的点对应的参数，求的中点到直线的距离．‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，且不等式的解集为，求的值；‎ ‎(Ⅱ)如果对任意，，求的取值范围．‎ n=1，s=1‎ n=n+1‎ 输出s s=s+n s=s+n 结束 开始 ‎（理科数学）答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C A B D D A C B D C C 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 108 14．21 15． 16. ；‎ 三、解答题（必做题第17题至第21题每小题12分，选做题第22题、23题每小题10分，共70分）‎ ‎17解：（Ⅰ）由条件及正弦定理得 ‎，………………2分 即.因为，……………4分 所以.…………………6分 ‎（Ⅱ）由得，……………7分 所以.……………8分 由余弦定理得………10分 即，………11分 当且仅当时，取得最小值为.…………12分 ‎18证明：（Ⅰ）连结交与点，………1分 因为底面为正方形，故点为线段中点.………2分 在中，为线段的中点，故.………3分 又平面，………4分 ‎ 所以平面.………5分 ‎（Ⅱ）如图，过点分别以、作的平行线、‎ 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，………6分 由题意得.………7分 又底面为正方形，则.因为平面，‎ 所以，由得平面，即………8分 所以、、、.………9分 设面的法向量为，由得，令，则，，故.………10分 同理得平面的法向量.………11分 设平面与平面所成锐二面角为，则.……12分 ‎19解：（Ⅰ）法一、抛物线的焦点为，准线为，设，‎ 则，………1分 过点作轴的垂线，垂足为，则. ………2分 在△中,，故，即，‎ 即，………3分 所以，故.………4分 由，所以，………5分 所以抛物线的方程为.…………………6分 法二、抛物线的焦点为，准线为，设，‎ 则，………1分 又因为与轴正方向的夹角为，所以 ‎，……2分 所以，所以，………3分，………4分 代入得，解之得或………5分 又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以，‎ 所以抛物线的方程为.…………………6分 ‎（Ⅱ）过作与准线垂直，垂足为，………7分 则，………8分 则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切…9分 设切线方程为与联立，消去得…10分 所以，得．………11分 则直线方程为或．……………12分 ‎20解：（Ⅰ）方案一的合同收益约为 ‎300×90－（300×0.1+30×0.1）×90－800×2－1600=20830（元）……………2分 方案二的合同收益约为（300－60）×90－1600=20000（元）.……………4分 ‎（Ⅱ）由题意知，即……………5分 又的取值为0，1，2，3，……………6分 则，……………7分 ‎，……………8分 ‎，……………9分 ‎，……………10分 故.……………12分 ‎21解：（Ⅰ）由题意知当时，不等式恒成立，‎ 即恒成立……………1分 设，则. ……………2分 当时，，函数单调递减；……………3分 当时，，函数单调递增，……………4分 所以的最小值为，故实数的取值范围为.……………5分 ‎（Ⅱ）法一、要证，即证.‎ ①当时，得，，显然成立；……………6分 ②当时，则，结合已知，可得……7分 于是问题可转化为证明，即证明.……………8分 令，则.令，‎ 则，易得在上单调递增.……………9分 因为，，所以存在使得，‎ 即…………10分 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 又，，所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，……………11分 所以，故，问题得证.……………12分 法二、因为，要证，只要证.‎ 当时，则，因为，所以成立………6分 当时，则，要证，只要证，‎ 记，则 …………7分 记，则 ，‎ 因，所以 ，即 在上递增……8分 因为，所以，使 ，即 ，且时，，即，在上递减，‎ 时，，即，在上递增，…………9分 所以， ，…………10分 记 ，则，‎ 所以，在上递增，即，‎ 得…………11分 又， 所以成立，故原不等式成立．…………12分 ‎22解：（Ⅰ）曲线，……………1分 曲线，……………2分 其中曲线为圆心是，半径是1的圆；……………3分 曲线为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.……5分 ‎（Ⅱ）曲线中，当时，点的坐标为，……………6分 同理点的坐标为，……………7分 故线段的中点的坐标为．……………8分 又直线的普通方程为，……………9分 故点直线的距离为.……………10分 ‎23解：（Ⅰ）因为，故……………2分 所以，……………4分 所以；……………5分 ‎（Ⅱ）对任意，当时，由（1）知，即；……………6分 当时，不恒成立；……………7分 当时，……………8分 要使恒成立，则，即.……………9分 综上可得或.……………10分