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  • 2021-06-24 发布

【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教案

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热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题 ‎(对应学生用书第55页)‎ ‎[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看,解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列,本专题的热点题型有:一是三角函数的图象与性质;二是解三角形;三是三角恒等变换与解三角形的综合问题,中档难度,在解题过程中应挖掘题目的隐含条件,注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用.‎ 热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)‎ 要进行五点法作图、图象变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进行三角恒等变换,将其化为一个角的一种三角函数,求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换.‎ ‎ (本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin·cos-sin(x+π).‎ ‎ (1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎ (2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值. 【导学号:79170117】‎ ‎ [思路点拨] (1)先逆用倍角公式,再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数,然后求其周期.‎ ‎ (2)先利用平移变换求出g(x)的解析式,再求其在给定区间上的最值.‎ ‎ [规范解答] (1)f(x)=2sin·cos-sin(x+π)=sin-(-sin x) 3分 ‎ =cos x+sin x=2sin, 5分 ‎ 于是T==2π. 6分 ‎ (2)由已知得g(x)=f=2sin. 8分 ‎ ∵x∈[0,π],∴x+∈,‎ ‎ ∴sin∈, 10分 ‎ ∴g(x)=2sin∈[-1,2].11分 ‎ 故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1. 12分 ‎ [答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为:‎ ‎ 第一步(化简):将f(x)化为asin x+bcos x的形式.‎ ‎ 第二步(用辅助角公式):构造f(x)=·sin x·+cos x·.‎ ‎ 第三步(求性质):利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.‎ ‎ 第四步(反思):反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎ [温馨提示] 1.在第(1)问的解法中,使用辅助角公式asin α+bcos α= sin (α+φ),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. ‎ ‎ 2.求g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解.‎ ‎[对点训练1] (2018·泰皇岛模拟)已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A,B,ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.‎ ‎ (1)求f(x)的解析式;‎ ‎ (2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎ [解] (1)因为f(x)=sin(ωx+φ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π. 2分 ‎ 又由当x=时,f(x)max=2,可知π+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ+(k∈Z),‎ ‎ 4分 ‎ 所以f(x)=2sin=2sin(k∈Z).‎ ‎ 故f(x)的解析式为f(x)=2sin. 5分 ‎ (2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z). 7分 ‎ 由≤k+≤,解得≤k≤, 9分 ‎ 又k∈Z,知k=5, 10分 ‎ 由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x=. 12分 热点2 解三角形 从近几年全国卷来看,高考命题强化了解三角形的考查力度,着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用,求解的关键是实施边角互化,同时结合三角恒等变换进行化简与求值.‎ ‎ (2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎ (1)求;‎ ‎ (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎ [解] (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,‎ ‎ S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 2分 ‎ 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=‎2AC.‎ ‎ 由正弦定理,得==. 5分 ‎ (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,‎ ‎ 所以BD=. 7分 ‎ 在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知 ‎ AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,‎ ‎ AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 9分 ‎ 故AB2+‎2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.‎ ‎ 由(1),知AB=‎2AC,所以AC=1. 12分 ‎ [规律方法]  解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式,要适时、适度进行“角化边”或“边化角”,要抓住能用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理都有可能用到.‎ ‎[对点训练2] 在△ABC中,已知A=45°,cos B=.‎ ‎ (1)求sin C的值;‎ ‎ (2)若BC=10,求△ABC的面积. 【导学号:79170118】‎ ‎ [解] (1)因为cos B=,且B=(0°,180°),‎ ‎ 所以sin B==.‎ ‎ sin C=sin(180°-A-B)=sin(135°-B)=sin 135°cos B-cos 135°sin B=×-×=.‎ ‎ (2)由正弦定理,得=,即=,解得AB=14,‎ ‎ 则△ABC的面积S=AB·BC·sin B=×14×10×=42.‎ 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点,主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用,求解的关键是根据题目提供的信息,恰当地实施边角互化.‎ ‎ (2018·哈尔滨模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若角A是钝角,且c=3,求b的取值范围.‎ ‎ [解] (1)由题意及正弦定理得sin Ccos B-2sin Ccos A=2sin Acos C-sin Bcos C, 2分 ‎ ∴sin Ccos B+sin Bcos C=2(sin Ccos A+sin Acos C).‎ ‎ ∴sin(B+C)=2sin(A+C).‎ ‎ ∵A+B+C=π,‎ ‎ ∴sin A=2sin B,∴=2. 5分 ‎ (2)由余弦定理得cos A===<0,‎ ‎ ∴b>. ① 7分 ‎ ∵b+c>a,即b+3>2b,∴b<3, ②‎ ‎ 由①②得b的范围是(,3). 12分 ‎ [规律方法]  1.以三角形为载体,实质考查三角形中的边角转化,求解的关键是抓住边角间的关系,恰当选择正、余弦定理.‎ ‎ 2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件),此时应首先确定三角形的边角关系,然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.‎ ‎[对点训练3] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知tan =2.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若B=,a=3,求△ABC的面积.‎ ‎ [解] (1)由tan=2,得tan A=,‎ ‎ 所以==. 5分 ‎ (2)由tan A=,A∈(0,π),得 ‎ sin A=,cos A=. 7分 ‎ 由a=3,B=及正弦定理=,得b=3. 9分 ‎ 由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=.‎ ‎ 设△ABC的面积为S,则S=absin C=9. 12分

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