考点70+不等式的证明、柯西不等式与均值不等式+-2019年领军高考数学（理）必刷题 20页

考点70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式 ‎1．设函数，其中．‎ ‎（1）讨论极值点的个数；‎ ‎（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎2．已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 当时，，，‎ 以上两式相减，得，‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；‎ ‎(II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ＞.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ‎ ‎(II)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎ (Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝ ‎ 当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤ ； ‎ 当－3≤x＜ 时，－x＋4≥8无解； ‎ 当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.‎ 所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为 ‎ ‎(II)证明：＞等价于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|. ‎ 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0， ‎ 所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．‎ ‎4．选修4-5：不等式选讲 ‎(Ⅰ)如果关于x的不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)已知正实数a，b，且，求证：。‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎5．设函数.‎ ‎（I）当时，解不等式；‎ ‎（II）若的解集为， （， ），求证： .‎ ‎【答案】 (1) (2)见解析 ‎6．已知函数.‎ ‎（1）若恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：.‎ ‎【答案】(1)2；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由已知可得，‎ 所以，‎ ‎7．选修4-5：不等式选讲 设且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎8．已知，，．证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）因为．‎ 所以． ‎ ‎（2）由（1）及得．‎ 因为，．‎ 于是． ‎ ‎9．选修4-5：不等式选讲 已知函数d的最小值为4.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，且，求证：.‎ ‎【答案】(1) 或.(2)见解析.‎ ‎10．已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若正数，满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）此不等式等价于或或，‎ 即不等式解集为．‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，即，‎ 当且仅当即时取等号，‎ ‎∴，‎ 当且仅当即时取等号，‎ ‎∴．‎ ‎11．已知函数， 为不等式的解集.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若， ，求证：.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）见试题解析.‎ ‎12．选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知，，且，，求证：．‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎13．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若（）对任意恒成立，求证：.‎ ‎【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ 或或 或或或 所以不等式的解集为.‎ ‎ (Ⅱ)当时，，‎ 当时，，‎ 所以的最小值为，‎ 因为对任意恒成立，‎ 所以，‎ 又，且等号不能同时成立，‎ 所以，即．‎ ‎14．选修4-5：不等式选讲 设，且，求证：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析.‎ ‎(Ⅱ)见解析.‎ ‎15．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，且，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎16．【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）时，，‎ ‎ ，‎ 所以或或，‎ ‎ 所以解集为 . ‎ ‎（Ⅱ）由绝对值不等式得，‎ 所以最大值， ‎ 当且仅当时等号成立. ‎ ‎17．选修4-5：不等式选讲 已知均为正实数，且.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】(1)12;(2).‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号 所以原式，‎ 故原式的最大值为.‎ ‎18．（选修4——5：不等式选讲）‎ 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知且，当最大时，求的最小值及此时实数的值．‎ ‎【答案】（1）,（2）．‎ 易得时，取得最小值为． ‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值 ‎【答案】（1）或.‎ ‎(2) .‎ ‎20．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎21．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）等价于，‎ ‎22．已知均为实数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】证明：（1）法一： ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以.‎ 法二： ‎ ‎，‎ 所以. ‎ ‎（2）证明：因为(由柯西不等式得）‎ 所以，‎ 当且仅当即时， 有最小值. ‎ ‎23．函数，其最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）正实数满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）3；（2）‎ ‎24．已知函数，，若恒成立，实数的最大值为．‎ ‎（）求实数．‎ ‎（）已知实数、、满足，且的最大值是，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（）根据题意可得，若恒成立，‎ ‎25．已知，且.‎ ‎（1)的最小值；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎【答案】（1）最小值为9；（2）见解析.‎ ‎【解析】(1)由柯西不等式，得，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 所以的最小值为9.‎ ‎(2)由，‎