2018-2019学年河南省开封市五校高二下学期期中联考数学（理）试题（Word版） 13页

河南省开封市五校2018-2019学年高二下学期期中联考 数学(理)试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎ ‎4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　　)‎ A．5,2 B．16,2 C．16,18 D．16,9‎ ‎6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)．‎ ‎ ‎ ‎7．函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ ‎8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．在锐角中，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点 ‎.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.‎ 其中正确的是（ ）‎ A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 .‎ ‎14．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .‎ ‎15．等比数列的首项为2，数列满足，则 . ‎ ‎16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，） ‎ ‎17．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.‎ ‎18．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面 上的射影恰好落在边上.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎19.某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,35](单位:百元)内的手机的利润情况,从2015年度销售的一批手机中随机抽取100部,按其价格分成6组,频数分布表如下:‎ 价格分组 ‎(单位:百元)‎ ‎[5,10)‎ ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ 频数(部)‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎10‎ ‎(1)试根据上述表格中的数据,完成频率分布直方图;‎ ‎(2)用分层抽样的方法从这100部手机中共抽取20部,再从抽出的20部手机中随机抽取2部,用X表示抽取价格在区间[20,35]内的手机的数量,求X的分布列及数学期望E(X).‎ ‎20．已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.‎ ‎21．已知f(x)＝2xln x，‎ ‎(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图象在点P(－1，g(－1))处的切线方程；‎ ‎(3)已知不等式f(x)≤g′(x)＋2恒成立，若方程aea－m＝0恰有两个不等实根，求m的取值范围．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 数学期中试题（理）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 D B C A C D C A B D C C 二、填空题 ‎13．-189； 14．； 15．； 16． .‎ ‎13. 【解析】令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为. ‎ 由，得，展开式中的系数是.‎ ‎14. 【解析】设，. ‎ 因为抛物线x2=4y的焦点为，准线为， ‎ 所以由，得，所以，x12=4y1=2.‎ 由 得 即 因为x22=4y2，所以. 解得或（舍）.‎ 注：若知抛物线的焦点弦的如下性质：，可更快地求出结果。‎ ‎15. ‎ ‎16. 【解析】设点，则，所以圆环的面积为.‎ 因为，所以，所以圆环的面积为 ‎.‎ 根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，则，.‎ 由 ，，成等比数列，得， ………………2分 即，得（舍去）或. ……………… 4分 ‎ 所以数列的通项公式为，. ………………6分 ‎（Ⅱ）因为， ………………8分 所以 .‎ 由，即，得. ………………10分 所以使成立的最大的正整数. ………………12分 ‎18．【解析】（I）设点在平面上的射影为点，连接 则平面，所以.‎ ‎ 因为四边形是矩形，所以，所以平面，‎ 所以.又，所以平面，而平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎……………… 5分 ‎（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.‎ 因为平面，又DM∩DE=D 所以平面，‎ 所以为二面角的平面角. ………………8分 ‎ 设，则.‎ 在中，易求出，.‎ 在中，，‎ 所以. ……………… 12分 方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ……………… 6分 设，则，所以，.‎ 由（I）知，又，所以°，°，那么，，，‎ 所以，所以，. ………8分 ‎ 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，所以. ………………10分 因为平面的一个法向量为，‎ 所以.‎ 所以求二面角的余弦值为. ……………… 12分 ‎19．【解析】：((1)价格在区间[5,10)内的频率为=0.05,‎ 价格在区间[10,15)内的频率为=0.25, 价格在区间[15,20)内的频率为=0.2,‎ 价格在区间[20,25)内的频率为=0.15, 价格在区间[25,30)内的频率为=0.25,‎ 价格在区间[30,35]内的频率为=0.1.‎ 频率分布直方图如下图:‎ ‎(2)因为各层抽取的手机数量之比为1∶5∶4∶3∶5∶2,故在抽取的20部手机中,价格在区间[20,35]内的手机有20×=10部,X的所有可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)=0×+1×+2× ………………12分 ‎20.【解析】（I）根据条件可设，，由，得:‎ ‎. ………………2分 设，则得 将①和②代入中并化简得： .‎ 所以点的轨迹的方程为. ………………5分 ‎（II）设直线的方程为，，，.‎ 将代入，整理得 .‎ 则 ，. ………………6分 ‎.‎ 因为，则有：，. …… 7分 因为在椭圆上，，‎ 化简得：. ………………8分 所以，，‎ 因为 ‎ . ……………… 9分 又点到的距离为. ………………10分 由，可知四边形为平行四边形，‎ ‎. ……………… 12分 拓展: 此题结论可推广到更一般情形:‎ 第(Ⅰ))题中, 直线、只要不垂直,轨迹均为椭圆, 、垂直时,轨迹为圆;‎ 第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:‎ 设不经过坐标原点且斜率为的直线交椭圆:于点、，点满足. 若点在椭圆上，则四边形OPRQ(或)的面积为定值。‎ ‎21．【解析】解　(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1，‎ 由题意知，3x2＋2ax－1<0的解集为，即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1，‎ 代入得a＝－1，∴g(x)＝x3－x2－x＋2. ……………… 3分 ‎(2)由(1)知，g(－1)＝1，‎ ‎∴g′(x)＝3x2－2x－1，g′(－1)＝4，‎ ‎∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，‎ ‎∴函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，‎ 即4x－y＋5＝0. ……………… 6分 ‎(3)由题意知，2xln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)恒成立，‎ 可得a≥ln x－x－对x∈(0，＋∞)恒成立．‎ 设h(x)＝ln x－x－，‎ 则h′(x)＝－＋＝－，‎ 令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－(舍)，‎ 当00；当x>1时，h′(x)<0，‎ ‎∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝h(1)＝－2，‎ ‎∴a≥－2.‎ 令φ(a)＝aea，则φ′(a)＝ea＋aea＝ea(a＋1)，‎ ‎∴φ(a)在[－2，－1]上单调递减，‎ 在(－1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∵φ(－2)＝－2e－2＝－，φ(－1)＝－e－1＝－，‎ 当a→＋∞时，φ(a)→＋∞，‎ ‎∴方程aea－m＝0恰有两个不等实根， ……………… 12分 ‎22.【解析】(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， ………………2分 C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. ………………4分 ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为. ………………10分