江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第十八次周考数学（理）试卷 111页

数学（理科）‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．‎ ‎1．已知全集U = R, ，集合 A = {x Î Z | 2 £ x £ 4}, B = {x Î R | x - 4 > 0}, 则 A I (C B) = （ ）‎ ‎‎6. 在DABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a, b, c, c + b =1, 则下列说法不一定成立的是 a + b a + c A．△ABC 可能为正三角形 B．角 A，B，C 为等差数列 p C．角 B 可能小于 D．角 B+C 为定值 ‎3‎ 6. 函数 f (x) = Asin(wx +j)(w> 0) 的部分图象如图所示，则 f (0) = （ ）‎ A.[1, 4] ‎‎ B．[2,4)‎ ‎‎ C.{2, 3, 4}‎ ‎‎ x -1 U D．{2, 3}‎ ‎‎ A． - B． - C． - D． - 6 2‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ uuur uuur 2. 设 a, b Î R, i 是虚数单位，则“复数 z = a + bi 为纯虚数”是“ ab = 0 ”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D 充分不必要条件 3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名学生参加环保知识竞赛，得分(10 分制)的频数分布表如下 得分 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎‎8. 菱形 ABCD 中,AC=2,BD=4,E 点在线段 CD 上,则| AB × AE | 的取值范围是( ) A.[2,3] B.[0,1] C.[0,2] D.[0,3]‎ 8. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为 0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高 0.1，反之，降低 0.1．则甲以 3：1 取得胜利的概率为 A．0.162 B．0.18 C．0.168 D．0.174‎ 设得分的中位数 me ，众数 m0 ，平均数 x，下列关系正确的是 ‎‎9. 已知双曲线 C: x ‎‎ ‎2‎ - y ‎2 = 1(a > 0, b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，点 M 在 C 的右支上，‎ ‎‎ MF1 与 y A. me ‎‎ = m0 = x ‎‎A. me ‎‎ = m0 < x ‎‎ a b 轴交于点 A, DMAF2 的内切圆与边 AF2 切于点 B，若| F1F2 |= 4 | AB |, 则 C 的渐近线方程是 A. me < m0 < x 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎‎B. m0 < me < x ‎‎ A. ‎3x ± y = 0‎ ‎‎ A. x ± ‎‎ ‎3y = 0‎ ‎‎ A. ‎2x ± y = 0‎ ‎‎ A. x ± 2 y = 0‎ A．3π B．9π C．12π． 36π 4. 已知 m, n 是两条不重合的直线，a,b是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 ‎‎11. 将正整数 20 分解成两个正整数的乘积有 1× 20, 2 ´10, 4 ´ 5 = 种，其中 4×5 是这三种分解中两数差的绝 对值最小的．我们称 4×5 为 20 的最佳分解.当 p ´ q ( p £ q且p, q Î N+ ) 是正整数 n 的最佳分解时，定义函 A.若m ^ n, m ^ a, 则n Pa ‎‎ B.若 m P n, m Pa, n Ëa, 则n Pa ‎‎ 数 f (n) = q - p, 则数列{ f (3n )}(n Î N+ ) 的前 100 项和 S 为 ‎100‎ C. m ^ n, m ^ a, n ^ b则a^ b ‎‎ D.若 m Pa,aP b, 则m P b或m Ì b ‎‎ A． 350 +1‎ ‎‎ B． 350 -1‎ ‎‎ ‎350 -1‎ C．‎ ‎2‎ ‎‎ ‎350 +1‎ D．‎ ‎2‎ 11. ‎． 已知函数 ‎‎ f ( x ) = ln (e ‎‎ ‎|2 x|-4‎ ‎‎ +1), g (x) = ‎‎ ìa + x - 2, x ³ 0‎ î ía - x - 2, x < 0‎ ‎‎ ‎, 若存在 a Î[n, n +1](n Î Z), 使得方程 ‎（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应DABC 的面积（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）‎ f ( x ) = g (x ) 有四个不同的实根，则 n 的最大值是 A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．‎ 11. 执行如图所示的框图程序，输出的结果 S= ‎ ‎‎ ‎18.（本小题满分 12 分）‎ 如图，在多面体 PABCD 中，平面 ABCD ^ 平面 PAD ，AD∥BC ，ÐBAD = 90° ，ÐPAD = 120° ，BC = 1 ，‎ AB = AD = PA = 2 ．‎ ‎（1）求平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值；‎ B C ‎（2）若 E 是棱 PB 的中点，求证：对于棱CD 上任意一点 F ， EF 与 PD 都不平行 11. 已知函数 f ( x ) = 2|x| + x2 , m = f ‎‎ ælog 1 ö, n = f ‎2 ÷ ‎3‎ ‎‎ (7 -0.1 ), p = f ‎‎ A D (log 4 25 ), 则 m，n，p 的大 è ø 小关系是 ‎ p cos(a- 5p ‎ ‎ æ ö 1 6 )‎ ‎6 3‎ 11. 已知，则sin ça+ ÷ = , 则 è ø ‎‎ tan p ‎（‎ ‎3‎ ‎‎ ‎= ‎ -a)‎ ‎3‎ 11. 已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 , AB = 2 , AD = 2, AA1 = 2 3, 已知 P 是矩形 ABCD 内一动点，PA1 与 p 平面 ABCD 所成角为 3 ，设 P 点形成的轨迹长度为α，则 tanα= ;当C1P 的长度最短时，三棱锥 D1 - DPC 的外接球的表面积为 ‎ 三、解答题：共 70 ‎ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 ‎ 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 ‎ 题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共 60 分．‎ 11. 已知 a, b, c 分别是 DABC 内角 A, B, C 的对边， 若 DABC 同时满足下列四个条件中的三个①‎ ‎6‎ ‎2‎ b - a = 2 6a + 3c ;② cos 2 A + 2 cos2 A = 1 ;③ a = ;④ b = 2‎ ‎ ‎ c 3a + 3b 2‎ （1） 满足有解三角形的序号有那些？‎ ‎20.(12 分) 在直角坐标系中取两个定点 A1 (- 6, 0), A2 ( 6, 0 ), 再取两个动点 N1 (0, m), N2 (0, n) , 且 mn = 2.‎ ‎(Ⅰ)求直线 A1N1 与 A2 N2 交点 M 的轨迹 C 的方程;‎ ‎(Ⅱ)过 R (3, 0) 的直线与轨迹 C 交于 P,Q，过 P 作 PN⊥x 轴且与轨迹 C 交于另一点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若 RP = lRQ (l> 1), 求证： MF = lFQ .‎ ‎21.（12 分）已知函数 f (x) = x ln(ax) + 2 （ a Î R ，且 a ¹ 0 ，e 为自然对数的底）．‎ e ‎‎ ‎（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C： r= 4cosq, 以极点 O 为旋转中心，将曲线 C 逆时针旋转p得到曲线C ' .‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求曲线 C’的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)求曲线 C 与曲线C ' 的公共部分面积.‎ ‎23．(10 分)选修 4-5：不等式选讲已知 f ( x ) = k | x | + | x -1| .‎ ‎（I）求函数 f (x) 的单调区间 ‎（Ⅱ）若函数 g(x) = f (x) - e- a 在(0, +¥) 有两个不同零点，求 a 的取值范围．‎ ‎‎ ‎(Ⅰ)若 k=2，解不等式 f ( x )„5 .‎ ‎(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x )„| x +1| + | 2x - 2 | 的充分条件是 x Î é 1 , 2ù , 求 k 的取值范围。‎ êë 2 úû 周考 18 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 ‎‎ AH，AD，AB 所在直线为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 2 分 因为ÐPAD = 120° ， BC = 1 ， AB = AD = PA = 2 ．‎ 所以 A(0, 0, 0), B (0, 0, 2 ),C (0,1, 2 ), D (0, 2, 0 ), P ( 3, -1, 0 ) ， 3 分 合题目要求的．‎ ‎‎ uuur uuur ( ) ( ) ( 设平面 PBC 的法向量为 n = x, y, z ，因为 BC = 0,1, 0 , BP = ‎‎ ‎3, -1, -2)，‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C D D A B B D D A B C ìn × uuur ‎‎ y = 0,‎ 所以ï ‎‎ BC = 0, 所以 ìï ‎‎ 令 x = 2 ，所以 n = (2, 0, 3 ) ， 4 分 í uuur n × = 0,‎ ‎‎ í 3x - y - 2z = 0,‎ îï BP ïî 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．‎ ‎‎ 由 z 轴^ 平面 PAD 知 m = (0, 0,1) 为平面 PAD 的一个法向量, 5 分 ‎13.5 14． p > m > n ‎‎ ‎15． - 1‎ ‎3‎ ‎‎ ‎16． -3‎ ‎‎ ‎29p ‎7,‎ ‎2‎ ‎‎ 所以 cos < n, m > = ‎‎ n × m n × m ‎3‎ ‎7 ´1‎ ‎3‎ ‎7‎ = = ， 6 分 ‎2 6a + 3c ‎6‎ 三。解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎‎ 所以 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值为 2 7 ． 7 分 ‎7‎ b - a ‎‎ a2 + c2 - b2‎ ‎‎ æ 3 1 ö ‎（2）因为 E 是棱 PB 的中点，由（1）可得 E , - .‎ ‎17.解：（1） = ‎‎ 可化为 ‎‎ = - = cos B ，‎ ‎‎ ç 2 2 ,1÷ Qcos 5p = - ‎‎ c 3a + 3b ‎3 , 5p < B < p ‎‎ ‎2ac 3‎ ‎‎ è ø 假设棱CD 上存在点 F ，使得 EF P PD ， 8 分 uuur uuur ‎6 2 6‎ cs2 A + 2 cos2 A = 1,cos A = ‎‎ ‎1 , A = p ‎‎ 设 DF = lDC ， 0≤l≤1 ，‎ uuur uuur uuur æ EF = ED + DF = ç- ‎3 , 5‎ ö æ ‎3 , 5‎ ö è ‎2 2‎ ø è ‎2 2‎ - l,-1+ 2l÷÷ ø 所以 ‎‎ ‎,-1÷ + l(0,-1, 2 )= çç- ‎‎ ‎， 9 分 ‎2 2 3‎ 可得①②不能同时出现作为条件，所以满足条件的序号组合是：①③④; ②③④‎ ‎‎ uuur 因为 EF P PD ，所以 = ‎‎ uuur z B C E F A(O)‎ D y H x = t - ‎‎ ‎3, 3, 0‎ ‎‎ ‎，··· 10 分 ‎（2）取②③④‎ ‎6‎ ‎2 2 p ‎‎ ì 3 = - - ï ï 2‎ ‎‎ ‎3t,‎ ‎‎ EF t PD ( ) 由正弦定理得：‎ ‎‎ sin 1‎ ‎‎ p = sin B ,sin B = 1, B = 2 3‎ ‎‎ 所以 ï 5 - l= 3t,‎ í 2‎ ï ï ‎2‎ ‎3‎ ï-1 + 2l= 0,‎ ‎这个方程组无解， 11 分 P c = ‎‎ ‎2, S = ´ ‎2‎ ‎‎ ‎6 ´ = ïî ‎18 解法一：（1）因为 AB ^ AD ，平面 ABCD ^ 平面 PAD ，平面 ABCD I 平面 PAD = AD ， AB Ì 平面 ABCD ，‎ E F A 所以 AB ^ 平面 PAD 1 分 ‎‎ 所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点 F ， EF 与 PD 都不平行 12 分 解法二：(1）几何法略 （1） 假设棱CD 上存在点 F ，使得 EF P PD ，显然 F 与点 D 不 同 8 分 作 AH ^ AD 交 PD 于 H ，则 AB, AD, AH 三条直线两两垂直．以 A 为坐标原点O ，分别以 ‎‎ 所以 P, E, F , D 四点共面，记该平面为a，所以 P Îa，PE Ì a ‎‎ B C FD Ì a················‎ ‎4‎ C P 又 B Î PE ， C Î FD ，所以 B Îa， C Îa， 所以a就是点 B, C, D 确定的平面 10 分 这与 P - ABCD 为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，‎ 所以对于棱CD 上任意一点 F ， EF 与 PD 都不平行.12 分解法三：（1）同解法一．7 分 ‎（2）假设棱CD 上存在点 F ，使得 EF P PD ．························‎ M E A A B C 连接 BD ，取 BD 的中点 M ，‎ 在△ BPD 中，因为 E, M 分别为 BP, BD 的中点，‎ C 所以 EM P PD P ‎‎ ‎20.‎ 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以 EM 与 EF 重合.··· 10 分又点 F ‎ 在线段CD 上，所以 F = BD I CD ，又 BD I ‎ CD = D ，‎ 所以 F 是 BD 与CD 的交点 D ，即 EF 就是 ED ， 11 分 而 ED 与 PD 相交，所以与 EF P PD 相矛盾，所以假设不成立，‎ 所以对于棱CD 上任意一点 F ， EF 与 PD 都不平行． 12 分 ‎21．（I）由 f (x) = x l n ax + 2 ，知 f ¢ (x) = ln ax +1 = ln(‎ aex) 1 分 e ‎①当 a > 0 时，定义域为(0, +¥),‎ ‎‎ f ¢( x) > 0 得 x > ‎‎ ‎1 ， f ¢ (x) < 0 得0 < x < 1 ；‎ ae ae ‎②当 a < 0 时，定义域为(-¥, 0),‎ ‎‎ f ¢( x) > 0 得 x < ‎‎ ‎1 ， f ¢ (x) < 0 得 1‎ ae ae ‎‎ < x < 0‎ 所以，当 a > 0 时，增区间为æ 1 , +¥ ö ，减区间为æ 0, 1 ö ；‎ ç ae ÷ ç ae ÷ è ø è ø 当 a < 0 时，增区间为æ -¥, 1 ö ，减区间为æ 1 , 0 ö ；（每类讨论 2 分） 5 分 ç ae ÷ ç ae ÷ è ø è ø ‎（Ⅱ）因为 g(x) = x ln ax + 2 - e- a 有两个正零点，则 a > 0 6 分 e 由（I）知 g(x) 在æ 0, 1 ö 上单调递减，在æ 1 , +¥ ö 上单调递增.‎ ç ae ÷ ç ae ÷ è ø è ø 设 x = et , x ln x = tet ,t ® -¥ 时，指数函数是爆炸增长， tet = - | t | ® 0 ，‎ e|t|‎ 当 x ® 0,‎ ‎‎ g(x) ® 2 - e- a ，当 x ® +¥,‎ ‎‎ g(x) > 0 ， g(x)‎ ‎‎ = g æ ‎‎ ‎1 ö = - 1‎ ‎‎ + 2 - e - a 7 分 e ì 2 - e- a > 0①‎ ae è ø ï e ‎‎ min ç ÷ ae e 因为 g(x) 有两个正零点，所以有í 1 2‎ ‎， 9 分 ï- + - e- a < 0②‎ ‎ ‎ 由①得 a > 1- ln 2 ，‎ ‎‎ îï ae e 对于②，令= h(x) = - 1 + 2 - e- x ，h¢ (x) = 1 + e- x > 0 ，‎ ex e ex2‎ h(x) 在(0, +¥) 上单调递增，且 h(1) = 0 ，由 h(x) < 0 知 x Î(0,1) ，‎ 由② - 1‎ ‎‎ + 2 - e-a < 0 得 a Î(0,1) 综上所述， a Î (1- ln 2,1)‎ ‎‎ ‎12 分 ae e