2020届二轮复习直线与圆锥曲线课时作业（全国通用） 31页

第三十七讲 直线与圆锥曲线 A组 一、选择题 ‎1. 抛物线的焦点为，倾斜角等于的直线过交该抛物线于两点，则=（ ）‎ A．2 B‎.4 C.8 D. 10‎ ‎【解析】由题可知焦点 ，直线的方程,设点 ， ‎ 联立方程组 可得 ，  , .‎ ‎2. 斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为 (　　)‎ A．2 B. C. D. ‎ 解析：设椭圆交直线于两点，由消去，得，则有 ‎，‎ 当时， 答案：C ‎3. 直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为 (　　)‎ A．1 B．1或‎3 C．0 D．1或0‎ 解析：由得，若，则，若，则，即解得，因此直线与抛物线有且只有一个公共点，则或答案：D ‎4.（2017全国1卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．‎14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线方程为 取方程 得 ‎∴‎ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当（或）时，取得等号.‎ ‎5.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于、两点．若的中点坐标为，则的方程为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】选D　本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力。用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到之间的关系，并由之间的关系确定椭圆方程。因直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即 又，所以，选择D.‎ 二、填空题 ‎6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．‎ 解析：双曲线的渐近线方程是 ‎∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，，∴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 ‎7. 已知抛物线与直线相交于、两点，抛物线的焦点为，那么________.‎ 解析： 由，消去，得(*)，方程(*)的两根为、两点的横坐标，故，因为抛物线的焦点为，所以 ‎ 答案：7‎ 三、解答题 ‎8.设椭圆: 过点，离心率为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标和所截线段的长度。‎ ‎【解】（1）将点（0，4）代入的方程得,  ∴b=4,‎ 又 得，即，  ∴‎ ‎ ∴的方程为 ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，‎ ‎ AB的中点坐标，，‎ 即所截线段的中点坐标为．‎ 所以线段AB的长度是 ‎，即所截线段的长度是．‎ ‎9. （2017年高考北京卷理）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.‎ 所以抛物线C的方程为.‎ 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.‎ 由，得.‎ 则，.‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为。连结，并延长交椭圆于点。设直线的斜率为。‎ ‎ （1）若直线平分线段,求的值； ‎ ‎ (2) 当时，求点到直线的距离；‎ ‎ （3）对任意的，求证：。‎ 解：由题意知，，故,所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以。‎ ‎（2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线AC的斜率为，所以直线AB的方程为 ‎，因此。‎ ‎（3）解法一：将直线PA的方程为代入，解得，记，则，于是故直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此 ‎，于是直线PB的斜率为， 因此，所以。‎ 解法二：设，则，.设直线PB，AB的斜率分别为。因为C在直线AB上，所以 ，从而 ‎，因此，所以。‎ ‎10. 已知椭圆的两焦点为，且过点 ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,以线段为直径的圆恰好过原点，,求出直线的方程;‎ 解： (Ⅰ)由题意可得 ‎ .‎ 椭圆的标准方程是 ‎(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.‎ 设M,N两点的坐标分别为 联立方程: ‎ 消去整理得, ‎ 有 若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,‎ 所以,,‎ 即 所以,‎ 即 ‎ 得 所以直线的方程为,或.‎ 所以过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ‎ ‎11．过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，‎ 并与轴交于点，直线与直线交于点．‎ ‎（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．‎ 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ‎，解得，代入直线的方程得 ，所以，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．‎ 设直线的方程为．代入椭圆方程得．‎ 解得，代入直线的方程得，‎ 所以D点的坐标为．‎ 又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得 因此，又．‎ 所以．‎ 故为定值．‎ B组 一、选择题 ‎1.已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为 (　　)‎ A．2 B． C．8 D． ‎ 解析：根据已知条件，则点在椭圆上，可得.答案：B ‎2.已知双曲线的右顶点为，若该双曲线右支上存在两点、使得△为等腰直角三角形，则实数的值可能为 (　　)‎ A. B．1 C．2 D．3‎ 解析：由题意可得，点A的坐标为，设直线AB的方程为，即，与双曲线方程联立可得，，则，解得或.由题意知为B点的纵坐标，且满足，即，根据选项知．答案：A ‎3. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为(　　)‎ A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：∵直线和圆没有交点，‎ ‎，∴，∴，∴点 )在椭圆的内部，∴过点的直线与椭圆的交点个数为2个．‎ 答案：B ‎4.已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，则的值等于 (　　)‎ A． B．8 C． D．16‎ 解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为由，消去得 .设，，则 答案：C 二、填空题 ‎5. 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是________．‎ 解析：∵方程表示椭圆，∴且.∵直线恒过点，‎ ‎∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：，，∴m的取值范围是且.‎ 答案： 且 ‎6.直线与抛物线交于、不同两点，且的中点横坐标为2，则的值是________．　‎ 解析：设，，由消去得，‎ 由题意得 ∴即.‎ 答案： 2‎ 三、解答题 ‎7.已知椭圆G：，过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎（Ⅱ）将表示为m的函数，并求的最大值。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得∴‎ ‎∴椭圆G的焦点坐标为,离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎8.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 ‎（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ 解析：（1）直线AB的方程是 ‎ 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，‎ 抛物线方程为：‎ （2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)‎ 设=，又，即8（4），即，解得 ‎9. （16年广一模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）以 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以．‎ 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义知，‎ 所以．‎ 所以，从而．‎ 所以椭圆的方程为．‎ 解法二：设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以． ①‎ 因为点在椭圆上，所以． ②‎ 由①②解得，，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（不妨设），则点．‎ 联立方程组消去得．‎ 所以，则． ‎ 所以直线的方程为．‎ 因为直线，分别与轴交于点，，‎ 令得，即点．‎ 同理可得点．‎ 所以．‎ 设的中点为，则点的坐标为．‎ 则以为直径的圆的方程为，‎ 即．‎ 令，得，即或．‎ 故以为直径的圆经过两定点，．‎ 解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点，则点．‎ 所以直线的方程为．‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点．‎ 同理可得点．‎ 所以．‎ 因为点在椭圆上，所以．‎ 所以．‎ 设的中点为，则点的坐标为．‎ 则以为直径的圆的方程为．‎ 即．‎ 令，得，即或．‎ 故以为直径的圆经过两定点，．‎ 解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（），则点． ‎ 所以直线的方程为．‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点．‎ 同理可得点．‎ 所以．‎ 设的中点为，则点的坐标为．‎ 则以为直径的圆的方程为，‎ 即．‎ 令，得，即或．‎ 故以为直径的圆经过两定点，．‎ ‎10.如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。‎ 解析：（I）由题意知，从而，又，解得。‎ 故，的方程分别为。‎ ‎（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.‎ 由得，‎ 设，则是上述方程的两个实根，于是。‎ 又点的坐标为，所以 故，即。‎ ‎（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或 ‎，则点的坐标为 又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.‎ 于是 由得，‎ 解得或，则点的坐标为；‎ 又直线的斜率为，同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知，解得 或。‎ 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。‎ C组 一、选择题 ‎1.已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与 被椭圆 截得的弦长不可能相等的是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ 解析：A选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B选项中，当时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C选项中，当时，两直线关于轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等．答案：D ‎2.已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A. 2 B.3 C. D.‎ ‎【解析】选B. 可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，‎ 所以与面积之和的最小值是.‎ ‎3.（设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】选D.‎ 显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得 ‎.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.‎ ‎4.设双曲线的右焦点为1，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　（　　）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以 ‎，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.‎ 二、填空题 ‎5.在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 ‎ ‎【解析】由已知，抛物线经过两点，过这两点的割线的斜率为.于是，平行于该割线的直线方程为，该直线与圆相切，所以，该直线又与抛物线相切，联立方程得，即 有得，代入，注意到，得.所以抛物线的方程为，顶点坐标为(－2，－9)．‎ ‎6.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .‎ ‎【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,‎ 解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,‎ 抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,‎ 所以， .‎ 所以， .‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ‎7.已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.‎ (1) 求曲线的方程；‎ 若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. ‎ (1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴. ‎ 当时,得,化简得. ‎ 当时, 、、三点共线，不符合题意，故.‎ ‎∴曲线的方程为. ‎ ‎(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.‎ ‎ 设直线的方程为, ‎ ‎ 由 得.‎ ‎ ∵ 直线与曲线相切,‎ ‎ ∴,即. ‎ 点到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 当且仅当，即时，等号成立.此时. ‎ ‎∴直线的方程为或. ‎ ‎ 解法2：由，得， ‎ ‎ ∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，‎ 则直线的方程为：，化简得. ‎ 点到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 当且仅当，即时，等号成立. ‎ ‎∴直线的方程为或. ‎ ‎ 解法3：由，得， ‎ ‎ ∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，‎ 则直线的方程为：，化简得. ‎ 点到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 当且仅当，即时，等号成立,此时. ‎ ‎∴直线的方程为或. ‎ ‎8.已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；‎ ‎（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上．‎ ‎（1）解：设双曲线的半焦距为，‎ 由题意可得 解得． ‎ ‎（2）证明：由（1）可知，直线，点．设点,，‎ 因为，所以．‎ 所以．‎ 因为点在双曲线上，所以，即．‎ 所以 ‎．‎ 所以直线与直线的斜率之积是定值．‎ ‎（3）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，则，，即，．‎ 设，则．‎ 即 整理，得 由①×③，②×④得 将，代入⑥，‎ 得． ⑦‎ 将⑤代入⑦，得．‎ 所以点恒在定直线上．‎ 证法2：依题意，直线的斜率存在．‎ 设直线的方程为，‎ 由 消去得．‎ 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 则有 设点，‎ 由，得．‎ 整理得．1‎ 将②③代入上式得．‎ 整理得． ④‎ 因为点在直线上，所以． ⑤‎ 联立④⑤消去得．‎ 所以点恒在定直线上．‎ ‎（本题（3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或 的范围．）‎ 法3：‎ 解：设直线l，‎ 所以M()、N（）、H（）‎ 所以由得 将()代入得：‎ 则、是上述方程两根，则由韦达定理易得 即，所以点恒在定直线上．‎ ‎9.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；‎ ‎（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．‎ ‎（1）解：依题意可得，．‎ 设双曲线的方程为，‎ 因为双曲线的离心率为，所以，即．‎ 所以双曲线的方程为．‎ ‎（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），‎ 则直线的方程为，‎ 联立方程组 整理，得，‎ 解得或．所以．‎ 同理可得，．‎ 所以．‎ 证法2：设点、（，，），‎ 则，．‎ 因为，所以，即．‎ 因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．‎ 即，．‎ 所以，即．‎ 所以．‎ 证法3：设点，直线的方程为，‎ 联立方程组 整理，得，‎ 解得或．‎ 将代入，得，即．‎ 所以．‎ ‎（3）解：设点、（，，），‎ 则，．‎ 因为，所以，即．‎ 因为点在双曲线上，则，所以，即．‎ 因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．‎ 因为，， ‎ 所以．‎ 由（2）知，，即．‎ 设，则，‎ ‎．‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ‎ 因为，，‎ 所以当，即时，．‎ 当，即时，‎ 所以的取值范围为．‎ 说明：由，得，给1分．‎ ‎10.已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、． ‎ ‎（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；‎ ‎（2）求直线的方程；‎ ‎（3）求三角形面积的最大值．‎ ‎（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）‎ 解：（1）因为，所以，所以．‎ 由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 故双曲线离心率的取值范围为．‎ ‎（2）方法1：因为，‎ 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．‎ 因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，‎ 所以联立方程组 消去，，即得直线的方程为．‎ 方法2：设，已知点，‎ 则，．‎ 因为，所以，即．‎ 整理得．‎ 因为，所以．‎ 因为，，根据平面几何知识可知，．‎ 因为，所以．‎ 所以直线方程为．即．‎ 所以直线的方程为．‎ 方法3：设，已知点，‎ 则，．‎ 因为，所以，即．‎ x y O P A B 整理得．‎ 因为，所以．‎ 这说明点在直线上． ‎ 同理点也在直线上．‎ 所以就是直线的方程． ‎ ‎（3）由（2）知，直线的方程为，‎ 所以点到直线的距离为．‎ 因为，‎ 所以三角形的面积．‎ 以下给出求三角形的面积的2种方法：‎ 方法1：因为点在双曲线上，‎ 所以，即．‎ 设，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以当时，，当时，．‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 当，即时，，‎ 当，即时，．‎ 综上可知，当时，；‎ 当时，．‎ 方法2：设，则．‎ 因为点在双曲线上，即，即．‎ 所以．‎ 令，则．‎ 所以当时，，当时，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 当，即时，，‎ 当，即时，．‎ 综上可知，当时，；‎ 当时，．‎