考点06 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训 24页

‎2018届高三30个黄金考点精析精训 考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）‎ ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.‎ ‎2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．‎ ‎3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.‎ ‎4.结合函数y＝x， y＝x2，y＝x3，y＝x，的图象，了解它们的变化情况．‎ ‎2.命题方向预测：‎ ‎1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．‎ ‎2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．‎ ‎3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．‎ ‎4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．‎ ‎5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．‎ ‎6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.‎ ‎3.课本结论总结：‎ 指数与指数函数 ‎1．分数指数幂 ‎(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.‎ ‎2．指数函数的图象与性质 对数与对数函数 ‎1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM.‎ ‎(2)对数的性质 ‎①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)对数的重要公式 ‎①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ ‎3．对数函数的图象与性质 二次函数与幂函数 ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递减在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)幂函数的图象比较 ‎(3)幂函数的性质比较 特征 ‎ 函数 性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x－1‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋∞)‎ ‎{y|y∈R且y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 ‎4.名师二级结论：‎ ‎（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．‎ ‎（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．‎ ‎（3）换元时注意换元后“新元”的范围．‎ ‎（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．‎ ‎（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．‎ ‎（6）对数值的大小比较方法 化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较．‎ ‎（7）函数y＝f(x)对称轴的判断方法 ‎1、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．‎ ‎2、对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎(1)新课标A版第 70 页，B组第 2 题 指数函数的图象如图所示，求二次函数的顶点的横坐标的取值范围． ‎【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 ‎(2)新课标A版第 60 页，B组第 4 题 设其中确定为何值时，有：‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）3x+1=-2x时，得x=-;‎ ‎(2)时，单调递增，由于，得3x+1>-2x得x>-, ，单调递减，由于，得3x+1-2x解得x-．‎ ‎【经典理由】根据a的取值进行分类讨论 ‎(3)新课标A版第 72 页，例8‎ ‎ 比较下列各组数中两个数的大小：‎ ‎（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； ‎ ‎（2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7；‎ ‎（3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (且)．‎ ‎【解析】（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5，‎ ‎∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；‎ ‎（2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7，‎ ‎∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7； ‎ ‎（3）解：当时，∵ y = log a x在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1＜5 . 9，‎ ‎∴ log a 5 . 1log a 5 . 9，‎ 当0＜a＜1时，∵ y = log a x在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1＜5 . 9，‎ ‎∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ．‎ ‎【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 ‎(4)新课标A版第 822 页，A组第10题 已知幂函数，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．‎ ‎【分析】根据幂函数的概念设，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．‎ ‎【解析】设,因为幂函数,‎ ‎，‎ 这个函数解析式为 ．‎ 定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，‎ 所以，y=f（x）是非奇非偶函数．‎ 当x＞0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图．‎ ‎【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力 ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)基本初等函数与集合交汇 例1【2017山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则 ‎（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，由得，故，选D.‎ ‎(2)基本初等函数与基本不等式交汇 例1【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎ （当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎【考点分类】‎ 热点1 指数函数、对数函数 ‎1.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎2. 函数的单调递增区间为(　 　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ ‎【答案】Ｄ ‎【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．‎ ‎3.【2018届广东省佛山市三水区实验中学高三上第一次模拟】若a＝，b＝，c＝，d＝log2 ，则a，b，c, d的大小关系是(　　)‎ A. a0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与00的解集为________．‎ ‎【答案】{x|2＜x＜3}‎ ‎【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关 热点2 幂函数、二次函数 ‎1.已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ 所以，‎ 即 ‎,所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.‎ ‎2.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3. 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意解得．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；‎ ‎2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.‎ 二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．‎ ‎3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查 ‎(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一 象限的图象下降，反之也成立．‎ ‎(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．‎ ‎4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：‎ ‎(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．‎ ‎5．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征 α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．‎ ‎【解题技巧】‎ 1. 做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路 2. 二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论 ‎3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．‎ ‎4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.注意幂函数与指数函数的联系与区别 ‎2.幂函数的增减与α的关系 ‎3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．‎ 例 如图是函数(m、n∈N*，m、n互质)的图象，则下列判断正确的是________．‎ ‎①m、n是奇数，且＜1‎ ‎②m是偶数，n是奇数且＞1‎ ‎③m是偶数，n是奇数且＜1‎ ‎④m是奇数，n是偶数且＞1‎ 解析：将分数指数式化为根式，由定义域为R，值域为[0，＋∞)知n为奇数，m为偶数，又由幂函数y＝xα，当α＞1时，图象在第一象限的部分下凸，当0＜α＜1时，图象在第一象限的部分上凸，故③正确．‎ 答案：③‎ ‎【易错点】幂函数的单调性和a有关，注意a与0和1的比较 ‎【热点预测】‎ ‎1下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在内单调递增，并且是偶函数，所以不选A． 在内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数，所以不选B． 在内单调递减，并且是偶函数，所以选C，． 在 内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数，所以不选D．‎ ‎2.【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎3.【2018届广东省汕头市金山中学高三上期中】已知当≤时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，不等式恒成立,所以，又，所以，因此是增函数，故恒成立，所以，解得，综上，故选B.‎ ‎4.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】函数的大致图像为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为，故可排除；又为上为减函数，为增函数，复合函数为上为减函数，排除，故选C.‎ ‎5.【2018届江西省南昌三中高三上第二次考试】， ( )‎ A. 3 B. 5 C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知， ，所以，故选B.‎ ‎6.已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) ‎ A．或； B．0；C．0或； D．0或.‎ ‎【答案】D ‎7.设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵单调函数在区间（1，2）内有零点，‎ ‎∴f（1）•f（2）＜0‎ 又 则 解得，故选C．‎ ‎8.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎9.【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】设函数,,求的最大值___________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设，‎ ‎∵，∴−2⩽t⩽2，‎ 则函数f(x)等价为g(t)=(t+2)(1+t)=+3t+2=−‎ ‎∴g(t)在[−2,−)单调递减,在[−,2]上单调递增，‎ ‎∴当时,g(t)取得最小值,最小值为−,即=−时,即x=时,f(x)的最小值为−‎ 当t=2时,g(t)取得最大值,最大值为g(2)=12,即=2时,即x=4时,f(x)的最大值为12.‎ ‎10.设函数若，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，或，解得，当 或，解得．‎ ‎11.已知函数是奇函数，则函数的定义域为 ‎ ‎【答案】‎ ‎12.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，‎ 若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；‎ 若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而 ‎，综上，实数的取值范围是.‎ ‎13. 已知函数，记是在区间上的最大值.‎ （1） 证明：当时，；‎ ‎（2）当，满足，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得 ‎，故在上单调，∴，当时，由 ‎，得，即，当时，由 ‎，得，即，综上，当时，‎ ‎；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为.‎ ‎14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知二次函数（a,b为常数）满足条件，且方程有两个相等的实数根.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数（m