【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十二章第一讲　随机事件的概率 6页

第十二章概　率 第一讲　随机事件的概率 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[易错题]将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上的恰有5次”是(　　)‎ A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 ‎2.[2018全国卷Ⅲ,5,5分]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)‎ A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7‎ ‎3.把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A为“甲分得语文书”,事件B为“乙分得数学书”,事件C为“丙分得英语书”,则下列说法正确的是(　　)‎ A.A与B是不可能事件 B.A+B+C是必然事件 C.A与B不是互斥事件 D.B与C既是互斥事件也是对立事件 ‎4.某人要去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.他乘火车或乘飞机去的概率为　　　　. ‎ ‎5.[2019潍坊调研]甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是‎1‎‎2‎,乙获胜的概率是‎1‎‎3‎,则乙不输的概率是　　　　. ‎ ‎6.[2020石家庄高三摸底考试]有一匀速转动的圆盘,圆盘上有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘2米处,向圆盘抛掷小圆环,已知甲、乙两人抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为‎1‎‎4‎与‎1‎‎5‎,现甲、乙两人分别向圆盘各抛掷一次小圆环,则小目标M被套上的概率为　　　　. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考法1求随机事件的频率与概率　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1 [2019河北衡水二模]某商店销售某海鲜,现统计了该商店春节前后50天海鲜的需求量x(10≤x≤20,单位:千克),得到频率分布直方图如图12 - 1 - 1所示,已知该商店每天进该海鲜1次,商店每销售1千克可获利50元.若供大于求,剩余的低价处理,每处理1千克亏损10‎ 元;若供不应求,可从其他商店调拨,销售1千克可获利30元.假设该商店在此期间每天进该海鲜14千克,商店的日利润为y(单位:元).‎ ‎ (1)求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式. 图12 - 1 - 1‎ ‎(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,视频率为概率.‎ ‎①求这50天该商店销售该海鲜的日利润的平均数;‎ ‎②估计日利润在区间[580,760)内的概率.‎ ‎(1)根据不同的需求量,列出函数表达式即可.(2)①利用频率分布直方图估计平均数,结合利润函数得到平均利润;②根据利润区间,求出需求量x所在区间,从而求出对应的概率即可.‎ ‎(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为 y=‎50x-10×(14-x),10≤x<14,‎‎50×14+30×(x-14),14≤x≤20,‎(分段找关系)‎ 化简得y=‎‎60x-140,10≤x<14,‎‎30x+280,14≤x≤20.‎ ‎(2)①由频率分布直方图得:‎ 海鲜需求量在区间[10,12)内的频率是2×0.08=0.16;‎ 海鲜需求量在区间[12,14)内的频率是2×0.12=0.24;‎ 海鲜需求量在区间[14,16)内的频率是2×0.15=0.30;‎ 海鲜需求量在区间[16,18)内的频率是2×0.10=0.20;‎ 海鲜需求量在区间[18,20]内的频率是2×0.05=0.10.‎ 所以这50天商店销售该海鲜的日利润y的平均数为:‎ ‎(11×60 - 140)×0.16+(13×60 - 140)×0.24+(15×30+280)×0.30+(17×30+280)×0.20+(19×30+280)×0.10=‎ ‎83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).‎ ‎②易知y=‎60x-140,10≤x<14,‎‎30x+280,14≤x≤20‎在区间[10,20]上单调递增,(判断单调性)‎ 当y=580时,可得x=12,当y=760时,可得x=16.(求解端点值)‎ 所以日利润y在区间[580,760)内的概率即为海鲜需求量x在区间[12,16)内的频率,即0.24+0.30=0.54.‎ ‎1.[2018北京,17,13分]电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;‎ ‎(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)‎ 考法2求互斥事件、对立事件的概率 ‎2某超市有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求:‎ ‎(1)P(A),P(B),P(C);‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率;‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ 利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解.‎ ‎(1)由题意得P(A)=‎1‎‎1000‎,P(B)=‎10‎‎1000‎‎=‎‎1‎‎100‎,P(C)=‎50‎‎1000‎‎=‎‎1‎‎20‎.‎ 故事件A,B,C发生的概率分别为‎1‎‎1000‎,‎1‎‎100‎,‎1‎‎20‎.‎ ‎(2)1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖.‎ 设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.‎ 因为事件A,B,C两两互斥,(A,B,C三个事件中任意两个均不可能同时发生)‎ 所以P(M)=P(A∪B∪C)‎ ‎=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎=‎‎1+10+50‎‎1000‎ ‎=‎61‎‎1000‎…(事件M发生的概率可拆为三个互斥事件发生的概率之和)‎ 故1张奖券中奖的概率为‎61‎‎1000‎.‎ ‎(3)抽1张奖券的结果共有4种可能:中特等奖,中一等奖,中二等奖,不中奖.其中,事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能:中二等奖和不中奖.‎ 解法一　(正面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,设“1张奖券不中奖”为事件D.‎ 由(2)得,P(D)=1 - P(M)=1 - ‎61‎‎1000‎‎=‎‎939‎‎1000‎,(“1张奖券中奖”与“1张奖券不中奖”是对立事件)‎ 所以P(N)=P(C)+P(D)=‎1‎‎20‎‎+‎939‎‎1000‎=‎‎989‎‎1000‎.(事件C与D是互斥事件)‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为‎989‎‎1000‎.‎ 解法二　(反面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,‎ 所以P(N)=1 - P(A∪B)=1 - (‎1‎‎1000‎‎+‎‎1‎‎100‎)=‎989‎‎1000‎.(利用了补集思想求概率)‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为‎989‎‎1000‎.‎ ‎2.[2019山东烟台模拟]已知甲袋中有1个红球、1个黄球,乙袋中有2个红球、1个黄球,这些小球除颜色外完全相同,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ 数学应用　通过数据分析求解概率问题 ‎3随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任选一天,估计该市在该天不下雨的概率;‎ ‎(2)已知该市某学校在该年4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎(1)用频率估计概率→据表计算该市在该天不下雨的概率 ‎(2)找出从晴天开始的两个日期(称为互邻日期对)的总数→计算出第二天不下雨的总数→计算频率即为要估计的概率 ‎(1)由表可知,在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,用频率估计概率,在4月份任选一天,该市在该天 不下雨的概率为‎26‎‎30‎‎=‎‎13‎‎15‎.‎ ‎(2)称相邻的两个日期为互邻日期对(如1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为‎14‎‎16‎‎=‎‎7‎‎8‎.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为‎7‎‎8‎.‎ 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 数据分析 从所给的表中提取数据,并用概率的相关知识进行分析处理.‎ 二 数学运算 计算概率.‎ 一 备考指导　‎ 本题从所给的一个月的天气情况中收集数据,计算频率,再用频率估计概率,根据概率的意义解决问题,考查了考生的数据收集与数据处理的能力,考查了考生的数据分析素养.解决本题第二问的关键有如下两点:‎ 一是正确理解题意:“从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会”即是选择“从晴天开始的连续两天”的互邻日期对作为一个“基本事件”.二是从表中提取信息:根据表中数据准确数出互邻日期对的个数.‎ 这类数据分析应用问题是近年来高考的一个热点内容,概率知识来源于生活,也应用于生活,要善于从实际问题中提取数据,用相关的数学知识处理数据,再回到实际中去解决实际问题.一般地,这类题的题干较长,数据信息繁杂,做题时要耐心、仔细读题审题,理解题意,从实际问题中抽出所需要的数据信息,再综合分析这些信息,从而找到解决问题的突破口.‎ ‎1.B　抛掷10次硬币,正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,所以“正面向上的恰有5次”是随机事件.故选B.‎ ‎2.B　设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1 - P(A) - P(B)=1 - 0.45 - 0.15=0.4.故选B.‎ ‎3.C　事件A,事件B,事件C都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A,B两项错误;事件A,事件B可能同时发生,故事件A与事件B不互斥,C项正确;事件B与事件C既不互斥,也不对立,D项错误.故选C.‎ ‎【方法总结】　　　　互斥、对立事件的两种判断方法 定义 法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件为互斥事件,两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.‎ 集合 法 ‎①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.‎ ‎4.0.7　设此人乘火车、飞机去开会分别为事件A,B,则易知事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.‎ ‎5.‎5‎‎6‎　乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,易知它们是互斥事件,所以乙不输的概率为‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎=‎‎5‎‎6‎.‎ ‎6.‎2‎‎5‎　小目标M被套上包括:甲抛掷的小圆环套上了、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上了、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上了.所以小目标M被套上的概率P=‎1‎‎4‎×(1 - ‎1‎‎5‎)+(1 - ‎1‎‎4‎)×‎1‎‎5‎‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎1.(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.‎ 故所求概率为‎50‎‎2000‎=0.025.‎ ‎(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1‎ ‎=56+10+45+50+160+51‎ ‎=372.‎ 故所求概率估计为1 - ‎372‎‎2000‎=0.814.‎ ‎(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.‎ ‎2.D　甲袋中有1个红球、1个黄球,乙袋中有2个红球、1个黄球,‎ 现从两袋中各随机取一个球,基本事件总数n=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎=6,‎ 取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球,‎ 所以利用对立事件概率计算公式得,取出的两球中至少有1个红球的概率P=1 - C‎1‎‎1‎C‎1‎‎1‎‎6‎‎=‎‎5‎‎6‎.故选D.‎