数学理卷·2017届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考（2017 12页

‎“江淮十校”2017届高三第三次联考 理数试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数（为虚数单位），则为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.的解集为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.函数，满足，且，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.与有关，不确定 ‎6.如图，半径为的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为的小圆，现将半径为 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，正四面体中，、分别是棱和的中点，则直线和所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知，、满足约束条件，若的最小值为，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的短轴长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数满足，，则函数（ ）‎ A.在上单调递增，在上单调递减 B.在上单调递增，在上单调递减 C.在上单调递增 D.在上单调递减 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设有两个命题，:关于的不等式（,且）的解集是；:函数的定义域为.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 .‎ ‎14.的展开式中的常数项为_________.‎ ‎15.已知向量，与的夹角为，则最大值为________.‎ ‎16.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：‎ ‎①是定值；②点在某个球面上运动；‎ ‎③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面.‎ 其中正确的命题是_________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知向量，向量，函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）已知、、分别为内角、、的对边，为锐角，，，且恰是在上的最大值，求和的值.‎ ‎18.四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当二面角的大小为时，求的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积.‎ ‎19.医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定：能力参数不少于称为合格，不少于称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力的频率分布直方图：‎ ‎（1）求出这个样本的合格率、优秀率；‎ ‎（2）现用分层抽样的方法从中抽中一个样本容量为的样本，再从这名医生中随机选出名.‎ ‎①求这名医生的能力参数为同一组的概率；‎ ‎②设这名医生中能力参数为优秀的人数为，求随机变量的分布列和期望.‎ ‎20.如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线,与交于两点，与交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为、、、.‎ ‎（1）设，求与的比值；‎ ‎（2）若存在直线,使得，求两椭圆离心率的取值范围.‎ ‎21.已知函数（，为常数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）对任意两个不相等的正数、，求证：当时，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合，直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于、两点，求、两点间的距离.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎“江淮十校”2017届高三第三次联考·理数 参考答案 一、选择题 ‎1.A 解析：，故选项为A.‎ ‎2.A 解析：分和两种情况，当时，原不等式即为，所以；当时，原不等式即为，所以，综上两种情况，，故选A.‎ ‎3.B 解析：，，，故选B.‎ ‎4.D解析：根据程序框图可知，，进入循环体后，循环次数、的值、的值的变化情况为：‎ 循环次数 退出循环 的值 的值 所以输出的的值为.故选D.‎ ‎5.A解析：由知：函数的图象关于直线对称，，由知：,,.‎ 当时，，而函数在单调增，，即；‎ 当时，，，即；‎ 当时，，函数在单调减，，即；‎ 综上知：，选A.‎ ‎6.D 解析：由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于，硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算方式可求.‎ 记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于，其面积为，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过，以纸板的圆心为圆心，作一个半径的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为的小圆无公共交点.所以有公共点的概率为，无公共点的概率为，故答案为D.‎ ‎7.B解析：连接、，则面，在平面上的射影为，设异面直线和所成的角为，正四面体棱长为，则,.由知：，故选B.‎ ‎8.B解析：设椭圆和双曲线的焦距为，椭圆的长轴为，双曲线的实轴长为，则：，，两式相减得：，即，，为的减函数，又>1,,即.故选B.‎ ‎9.A 10.D 11.C 12.Dd 二、填空题 ‎13.或 14. 15. 16.①②④‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1）‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知：，∴时，，‎ 当时取得最大值，此时.由得.‎ 由余弦定理，得，∴，‎ 即，则.‎ ‎18.解析:（1）由题意知直线在面上的射影为,‎ 又菱形中，由三垂线定理知.‎ ‎（2）和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为,‎ 连接，则是二面角的平面角，‎ 由知，二面角大于，‎ 所以点与点在平面的同侧，如图所示.‎ 则是二面角的平面角，故.‎ 在中，，设，则中，，‎ 在直角梯形中，，‎ 在中，由余弦定理得，故且，‎ 解得，即.‎ ‎（3）由（2）知：，，‎ 且面，∴.‎ ‎19.解析：（1）合格率：.‎ 优秀率：.‎ ‎（2）由题意知，这名医生中，有人，有人，有人，有人，有人，有人.‎ ‎①.‎ ‎②优秀的人数为：人，.‎ ‎，，，‎ ‎∴的分布列是：‎ 故的期望是.‎ ‎【或解】由题意：，所以.‎ ‎20.【解析】（1）因为、的离心率相同，‎ 故依题意可设.‎ 设直线分别和、的方程联立，求得.‎ 当时，，分别用、表示、的纵坐标，可知.‎ ‎（2）时的不符合题意，时，，当且仅当的斜率与的斜率相等，即：‎ ‎，解得.‎ 因为，又，所以，解得.‎ ‎∴当时，存在直线,使得，即离心率的取值范围是.‎ ‎21.解：（1），∴.‎ ‎①当时，，在为减函数；‎ ‎②当时，，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数.‎ ‎∴当时，在上为减函数，在上为增函数.‎ ‎（2）证明：以为自变量，构造.‎ ‎∴，又，‎ ‎∵，∴.‎ 故当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数.‎ 故对一切，.当且仅当时取等号.‎ 题中，故恒成立.得证.‎ ‎22.解：（1）由得，，‎ 两边同乘得，‎ 再由，得 曲线的直角坐标方程是.‎ ‎（2）将直线参数方程代入圆方程得，‎ ‎，.‎ ‎23.解：（1）.‎ 则当时，不成立；当时，，解得；‎ 当时，成立，故原不等式的解集为.‎ ‎（2）由即有解，转化为求函数的最小值.‎ ‎∵恒成立.‎ 当且仅当即或时，上式取等号，故的最小值为，‎ ‎∴，即，即或，∴或，‎ 故实数的取值范围是.‎