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  • 2021-06-24 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第七章 4 第4讲 基本不等式

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‎[基础题组练]‎ ‎1.当x>0时,函数f(x)=有(  )‎ A.最小值1         B.最大值1‎ C.最小值2 D.最大值2‎ 解析:选B.f(x)=≤=1.‎ 当且仅当x=,x>0即x=1时取等号.‎ 所以f(x)有最大值1.‎ ‎2.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B.因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而+≥2⇔ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.‎ ‎3.(2020·嘉兴期中)若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为(  )‎ A.3 B.4‎ C. D. 解析:选B.因为正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,‎ 所以x+2y+-8≥0,‎ 设x+2y=t>0,‎ 所以t+t2-8≥0,‎ 所以t2+4t-32≥0,‎ 即(t+8)(t-4)≥0,‎ 所以t≥4,‎ 故x+2y的最小值为4.‎ ‎4.若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )‎ A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 解析:选D.由题意得所以 又log4(3a+4b)=log2,‎ 所以log4(3a+4b)=log4(ab),‎ 即3a+4b=ab,故+=1.‎ 所以a+b=(a+b)=7++ ‎≥7+2 =7+4.‎ 当且仅当=时取等号.故选D.‎ ‎5.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是(  )‎ A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)‎ C.(-2,1) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)‎ 解析:选C.根据题意,由于不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x2+x<,因为+≥2 =2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式可知-20,所以a-1>0,所以+=+=+≥2 =2,当且仅当=和+=1同时成立,即a=b=3时等号成立,所以+的最小值为2,故选A.‎ ‎7.已知a,b∈(0,+∞),若ab=1,则a+b的最小值为________;若a+b=1,则ab的最大值为________.‎ 解析:由基本不等式得a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取到等号;ab≤= ‎,当且仅当a=b=时取到等号.‎ 答案:2  ‎8.(2020·嘉兴期中)已知0<x<,则x(5-4x)的最大值是________.‎ 解析:因为0<x<,‎ 所以0<5-4x<5,‎ 所以x(5-4x)=·4x(5-4x)≤·=,当且仅当x=时取等号,故最大值为.‎ 答案: ‎9.(2020·温州市瑞安市高考模拟)若x>0,y>0,则+的最小值为________.‎ 解析:设=t>0,则+=+t=+(2t+1)-≥2-=-,当且仅当t==时取等号.‎ 答案:- ‎10.(2020·宁波十校联考)已知a,b均为正数,且a+b=1,c>1,则(-1)·c+的最小值为________.‎ 解析:因为a+b=1,‎ 所以-1=-1‎ ‎=+≥2 =,‎ 当且仅当=即a=-1,b=2-时取等号,‎ 所以(-1)·c+≥c+=(c-1++1)≥3,当且仅当c=2时取等号.‎ 答案:3 ‎11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ 解:(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 又x>0,y>0,则1=+≥2 =.‎ 得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)‎ ‎=10++≥10+2 =18.‎ 当且仅当x=12且y=6时等号成立,‎ 所以x+y的最小值为18.‎ ‎12.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系:s=+(n为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中 ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?‎ 解:(1)由试验数据知,s1=n+4,s2=n+,‎ 所以 解得.‎ 又n∈N,所以n=6.‎ ‎(2)由(1)知,s=+,v≥0.‎ 依题意,s=+≤12.6,‎ 即v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.‎ 因为v≥0,所以0≤v≤60.‎ 故行驶的最大速度为60 km/h.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则x+2y的最小值为(  )‎ A.2 B. C. D. 解析:选C.由已知可得=×(+)=+=+,又M、G、N三点共线,故+=1,所以+=3,则x+2y=(x+2y)··=≥(当且仅当x=y时取等号).故选C.‎ ‎2.已知x>0,y>0,2x+y=1,若4x2+y2+-m<0恒成立,则m的取值范围是(  )‎ A.(-1,0)∪ B. C. D. 解析:选B.4x2+y2+-m<0恒成立,即m>4x2+y2+恒成立.因为x>0,y>0,2x+y=1,所以1=2x+y≥2,所以0<≤(当且仅当2x=y=时,等号成立).因为4x2+y2+=(2x+y)2-4xy+=1-4xy+=-4+,所以4x2+y2+的最大值为,故m>,选B.‎ ‎3.(2020·杭州学军中学考试)已知a<b,若二次不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立,则M=的最小值为________.‎ 解析:由条件知a>0,b-a>0.由题意得Δ=b2-4ac≤0,解得c≥,所以M=≥=== ‎=++4≥2+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立,所以M的最小值为8.‎ 答案:8‎ ‎4.(2020·浙江省名校联考)已知a>0,b>-1,且a+b=1,则+ 的最小值为____________.‎ 解析:+=a++=a++b+1-2+,又a+b=1,a>0,b+1>0,所以a++b+1-2+=+==++≥+2 =,当且仅当=即a=4-2,b=2-3时取等号,所以+的最小值为.‎ 答案: ‎5.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.‎ 求:(1)u=lg x+lg y的最大值;‎ ‎(2)+的最小值.‎ 解:(1)因为x>0,y>0,‎ 所以由基本不等式,得2x+5y≥2.‎ 因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,‎ 当且仅当2x=5y时,等号成立.‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.‎ 所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0,y>0,‎ 所以+=·=≥‎ =.‎ 当且仅当=时,等号成立.‎ 由解得 所以+的最小值为.‎ ‎6.(2020·义乌模拟)如图,某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.‎ ‎(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?‎ ‎(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?‎ 解:设AP=x米,AQ=y米.‎ ‎(1)则x+y=200,△APQ的面积S=xy·sin 120°=xy.所以S≤=2 500.‎ 当且仅当 即x=y=100时取“=”.‎ ‎(2)由题意得100×(x+1.5y)=20 000,即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ最短,所以PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000=1.75+,当y=时,PQ有最小值,此时x=.‎

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