人教A版理科数学课时试题及解析（71）不等式的证明与柯西、排序不等式 3页

课时作业(七十一)　[第71讲　不等式的证明与柯西、排序不等式]‎ ‎[时间：35分钟　　分值：80分]‎ ‎1．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则a________b.‎ ‎2．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则P________Q.‎ ‎3．若a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是________．‎ ‎4．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎5．若a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca________.‎ ‎6．已知a，b，x，y∈R，a2＋b2＝4，ax＋by＝6，则x2＋y2的最小值为________．‎ ‎7．设x1，x2，x3，x4，x5是1,2,3,4,5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是________．‎ ‎8．设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是________．‎ ‎9．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝2，a2＋2b2＋‎3c2＝4，则a的取值范围是________．‎ ‎10．不等式＋＋…＋>1，当n＝k＋1时，左边的项数是________．‎ ‎11．设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的最小值为________．‎ ‎12．(13分)△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)＋＋≥36R2.‎ ‎13．(12分) 已知数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝1＋(n∈N*，p是正常数)．‎ ‎(1)当p＝2时，用数学归纳法证明xn<(n∈N*)；‎ ‎(2)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn.‎ 课时作业(七十一)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．≥　[解析] 因为(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝(‎2m－n)2≥0，所以a≥b.‎ ‎2．>　[解析] P－Q＝＋－a－b＝＋ ‎＝，因为a、b∈R＋，且a≠b，所以P－Q>0.‎ ‎3．3　[解析] 由排序不等式知a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，即ab＋bc＋ca的最大值为3.‎ ‎4．a≥4或a≤－2　[解析] 因为(x＋2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)，‎ 所以x＋2y＋2z≤＝3，‎ 因为不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，‎ 所以|a－1|≥3，解得a≥4或a≤－2.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．≤0　[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，展开，得ab＋bc＋ca＝－.‎ ‎∴ab＋bc＋ca≤0.‎ ‎6．9　[解析] 由柯西不等式得(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，所以 x2＋y2≥＝＝9.‎ ‎7．35　[解析] 反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.‎ ‎8．4　[解析] ∵＋＝＋＝2＋＋≥4，∴＋≥，而＋≥恒成立，得n≤4.‎ ‎9.≤a≤2　[解析] 由已知得b＋c＝2－a,2b2＋‎3c2＝4－a2，联想到柯西不等式得(2b2＋‎3c2)≥(b＋c)2，‎ ‎∴(4－a2)×≥(2－a)2，∴‎11a2－‎24a＋4≤0，因此≤a≤2.‎ ‎10．2k＋3　[解析] 当n＝k＋1时，不等式变为＋＋…＋>1，‎ 即＋＋…＋>1，所以左边有2k＋3项．‎ ‎11．2＋2　[解析] 因为xy≤2，所以－(x＋y)≥1，令t＝x＋y，则有t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2，因为x，y∈R＋，所以t≥2＋2.‎ ‎12．[解答] 证明：由三角形中的正弦定理得 sinA＝，所以＝，‎ 同理＝，＝，‎ 于是不等式左边＝(a2＋b2＋c2) ‎≥2＝36R2.‎ 所以原不等式成立．‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] 由x1＝1，xn＋1＝1＋，p>0知，xn>0(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：当p＝2时，xn＋1＝1＋，‎ ‎①当n＝1时，x1＝1<，命题成立．‎ ‎②假设当n＝k时，xk<，‎ 则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝，‎ 即n＝k＋1时，命题成立．‎ 根据①②知，xn<(n∈N*)．‎ ‎(2)用数学归纳法证明，xn＋1>xn(n∈N*)．‎ ‎①当n＝1时，x2＝1＋>1＝x1，命题成立．‎ ‎②假设当n＝k时，xk＋1>xk，‎ 因为xk>0，p>0，‎ 所以<，‎ 则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝xk＋2，即n＝k＋1时，命题成立．‎ 根据①②知，xn＋1>xn(n∈N*)．‎ 所以综上证明可知{xn}是递增数列，‎ 故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn.‎