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- 2021-06-24 发布
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三、利用导数研究函数的单调性、极（最）值
一、选择题
1．【2018届青海省平安县第一高级中学高三（B班）上周练2】曲线 的单调增区间是( )
A. ; B. ; C. 及 ; D. 及;
【答案】B
故选B.
2．【2017北京西城35中高三上期中】函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】∵， 恒有解，∴，
， ，∴或，当时， （舍去），
∴或，
故选．
3．【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知函数fx=2x-1ex+ax2-3ax>0为增函数，则a的取值范围是（ ）
A. -2e,+∞ B. -32e,+∞ B. -∞,-2e D. -∞,-32e
【答案】A
【解析】∵函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a(x>0)为增函数，
∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为2a⩾-2+1xex，
令gx=-2+1xex,则g'x=-2x-1x+1exx2，
可得：x=12时,函数g(x)取得极大值即最大值,g12=-4e.
∴a≥-2e.
∴a的取值范围是-2e,+∞.
本题选择A选项.
4．【2018届湖北省枣阳市高级中学高三十月月考】函数的极值点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．【2018届山东省邹平双语学校二区高三上第一次月考】函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选D.
6．【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知函数f(x)=sinx-x, x∈R，则f(-π4)、f(1)、f(π3)的大小关系（ ）
A. f(-π4)>f(1)>f(π3) B. f(π3)>f(1)>f(-π4)
C. f(1)>f(π3)>f(-π4) D. f(π3)>f(-π4)>f(1)
【答案】A
7．【2018届云南省名校月考（一）】已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，因为，当时， ，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.
8．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知fx是定义在R上的可导函数，且满足x+3fx+xf'x>0，则（ ）
A. fx>0 B. fx<0
C. fx为减函数 D. fx为增函数
【答案】A
【解析】构造函数g(x)=x3exf(x)，g′(x)=x2ex[(x+3)f(x)+xf′(x)]，
∵(x+1)f(x)+xf'(x)>0，∴g′(x)=x2ex[(x+1)f(x)+x′(x)]>0，
故函数g(x)在R上单调递增，而g(0)=0
∴x>0时，g(x)=x3exf(x)>0⇒f(x)>0；x<0时，g(x)=x3exf(x)<0⇒f(x)>0；
在(x+3)f(x)+xf'(x)>0中取x=0，得f(0)>0．
综上，f(x)>0．
本题选择A选项.
9．【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】已知函数，在区间内任取两个数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．【2018届陕西省西安中学高三10月月考】已知函数f(x)=13x3-a2x，若对于任意的x1,x2∈0,1，都有f(x1)-f(x2)≤1成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. [-233,233] B. (-233,233) C. [-233,0)∪(0,233] D. (-233,0)∪(0,233)
【答案】A
【解析】利用排除法，当a=0时，fx=13x3,f'x=x2≥0，函数在定义域上单调递增，fx1-fx2≤f1-f0=13≤1，满足题意，排除
CD选项，
当a=233时，fx=13x3-43x,f'x=x2-43<0，
函数在定义域上单调递减，fx1-fx2≤f0-f1=1≤1，
满足题意，排除B选项，
本题选择A选项.
11．【2018届陕西省西安中学高三10月月考】若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
当01e⇒a>2e ，
综上：a的取值范围是(2e,e]，选D.
二、填空题
13．【2018届南宁市高三摸底联考】已知函数fx=ex-e-xx，flog3x+flog13x≤2f1，则x的取值范围是__________.
【答案】13≤x≤3
【解析】由题意可得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，又flog13x=f-log3x=flog3x,所以原不等式可化为2flog3x≤2f1，即flog3x≤f1,
又x>0时，f'(x)=ex-1ex+x(ex+1ex)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，上式转化为|log3x|≤1,解得13≤x≤3，填13≤x≤3.
14．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0，f/(x)为f(x)的导函数，且2f(x)0，
G(x)在(0,+∞)上为增函数，所以G(2)18，
因此，f(2)f(4)的取值范围是(18,14)．
15．【2018届江苏省启东中学高三10月月考】已知函数 在 上是增函数，函数，当 时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为 ，则a的值为______.
【答案】
【解析】，因为在上是增函数，即在上恒成立， ，则，当时， ，
又，令，则，
（1）当时， ， ，
则，则，
（2）当时， ， ，
则，舍.
.
16．如图是函数y=fx的导函数y=f'x的图象，给出下列命题：
①-2是函数y=fx的极值点
②1是函数y=fx的极小值点
③y=fx在x=0处切线的斜率大于零
④y=fx在区间-∞,-2上单调递减
则正确命题的序号是__________.
【答案】①③④
②当x>−2时,f′(x)>0，函数单调递增，
∴1是函数y=f(x)的极小值点，错误。
③当x>−2时,f′(x)>0，函数单调递增，
∴y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，∴③正确。
④当x<−2时,f′(x)<0，函数单调递减，
∴y=f(x)在区间(−∞,−2)上单调递减，∴④正确。
则正确命题的序号是①③④，
故答案为：①③④
三、解答题
17．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知函数fx=12x2-lnx,a∈R.
（I）若y=fx在x=2处的切线方程为y=x+b，求a,b的值；
（II）若fx在1,+∞上为增函数，求a得取值范围.
【答案】(1) a=2b=-2ln2 (2) a≤1
试题解析：
（I）因为f'x=x-axx>0，又fx在x=2处的切线方程为y=x+b，
所以2-aln2=2+b2-a2=1所以a=2b=-2ln2
（II）因为fx在1,+∞上为增函数，
所以f'x=x-ax≥0在1,+∞上恒成立.
即a≤x2在1,+∞上恒成立，所以有a≤1.
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：
（1）已知切点求切线方程；
（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；
（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
18．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知函数f(x)=x-3x-4lnx．
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）当00解不等式即可得f(x)的单调增区间；
（2）x2+2x-3≤4xlnx等价于f(x)=x-3x-4lnx≤-2，利用导数研究函数的单调性，证明f(x)max=f(1)=-2，从而可得结果.
试题解析：（1）∵f'(x)=1+3x2-4x =x2-4x+3x2 =(x-1)(x-3)x2，
令f'(x)>0，解得x>3或x<1，
又由于函数f(x)的定义域为x|x>0，
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)．
（2）由（1）知f(x)=x-3x-4lnx在(0,1)上单调递增，在1,3上单调递减，
所以，当0-1时， f(x)在-∞,-a和1,+∞内单调递增， f(x)在-a,1内单调递减；（Ⅱ）即m的取值范围是（-∞，-3]．7
【解析】试题分析：
(Ⅱ)当a=3时，函数的解析式fx=x3+3x2-9x+1,x∈m,2，则f'x=3x+3x-1，讨论函数的单调性可得fx极大=f-3=28， fx极小=f1=-4，且f2=3<28，则m的取值范围是-∞,-3.
试题解析：
（I）f'(x)=3x2+3a-1x-3a=3x-1x+a．
令f'x=0得x1=1,x2=-a．
（i）当-a=1，即a=-1时， f'(x)=3x-12≥0， f(x)在-∞,+∞单调递增．
（ii）当-a<1，即a>-1时，
当xx2或xx1时f'(x)>0， f(x)在-∞,x2和x1,+∞内单调递增；
当x21，即a<-1时，
当a=-1时， f(x)在-∞,+∞单调递增；
当a>-1时， f(x)在-∞,x2和x1,+∞内单调递增，
f(x)在x2,x1内单调递减．（其中x1=1,x2=-a）
（II）当a=3时， fx=x3+3x2-9x+1,x∈m,2， f'x=3x2+6x-9=3x+3x-1
令f'x=0，得x1=1,x2=-3．
将x， f'x， fx变化情况列表如下：
x
1
f'x
+
0
-
0
+
fx
↗
极大
↘
极小
↗
由此表可得fx极大=f-3=28， fx极小=f1=-4．
又f2=3<28，
故区间m,2内必须含有，即m的取值范围是（-∞，-3]．
20．【2018届江苏省常熟中学高三10月抽测（一）】已知函数.
（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
(2)由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1） ，
∵函数是单调递减函数，∴对恒成立，
∴对恒成立，即对恒成立，
∵（当且仅当，即取“”），∴；
（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，
∴在上有两个相异实根，
即在上有两个相异实根，
记，则，得，
即.
21．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设函数fx=-alnxx+x-a+2a∈R.
（1）当曲线y=fx在点1，f,1处的切线与直线y=x垂直时，求a的值；
（2）若函数Fx=fx+a24x有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1) a=2;(2) 2e,+∞.
试题解析：
由题意知，函数fx的定义域为0，+∞， f'x=alnx-1x2+1，∴f'1=1-a=-1，解得a=2.
（2）若函数Fx=fx+a24x有两个零点，则方程-alnxx+x-a+2+a24x=0恰有两个不相等的正实根，即方程-alnx+x2-a-2x+a24x=0恰有两个不相等的正实根.设函数gx=-alnx+x2-a-2x+a24x，∴g'x=2x-a-2x-ax =2x2-a-2x-ax=2x-ax+1x.
当a≤0时， g'x>0恒成立，则函数gx在0,+∞上是增函数，∴函数gx最多一个零点，不合题意，舍去；当a>0时，令g'x>0，解得x>a2，令g'x<0，解得00恒成立，要使函数gx有2个正零点，则gx的最小值ga2<0，即-alna2+a24-a-2×a2+a24<0，即-alna2+a<0，∵a>0，∴lna2>1，解得a>2e，即实数a的取值范围为2e,+∞.
22．【2018届河南省洛阳市高三上期中】已知函数f(x)=(x2+mx+n)ex，其导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.
【答案】（1）y=4ex-3e（2）f(x)的单调增区间是(-∞,-3)，(0,+∞)，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5e2，最小值为-1.
【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足f'(x)=0，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求f'(1)得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式f'(x)>0和f'(x)<0
，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.
试题解析：
（2）由于ex>0，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,-3)
-3
(-3,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故f(x)的单调增区间是(-∞,-3)，(0,+∞)，单调递减区间是（-3,0）.
（3）由于f(2)=5e2，f(0)=-1，f(-2)=e-2，
所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5e2，最小值为-1.
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