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- 2021-06-24 发布
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专题32 不等式的性质的解题技巧
一．【学习目标】
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
二．【知识要点】
1．不等式的定义
用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．
2．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a >b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a b⇔b < a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a >c；
(3)可加性：a>b⇔a+c>b+c；a>b，c>d⇒a+c>b+d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac < bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒；
(6)乘方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(7)开方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质：<；
>(b－m>0)；
②假分数的性质：>；
<(b－m>0)．
4．基本不等式
(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；
(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；
(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.
三．典例分析
（一）由已知条件判断不等式
例1．已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
练习1．已知，有下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则； ④若，则；
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①取,则，但,故①错；
②因,所以,因此；即②正确；
③因,所以，故③正确；
④因，由，得
,所以,故④正确.
练习2．有下列四个命题：
①已知-1＜a＜b＜0，则0.3a＞a2＞ab；
②若正实数a、b满足a+b=1，则ab有最大值；
③若正实数a、b满足a+b=1，则有最大值；
④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3＞x2y+xy2．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①已知﹣1＜a＜b＜0，则0.3a＞1，1＞a2＞ab＞0，即有0.3a＞a2＞ab正确；
②若正实数a、b满足a+b＝1，则ab≤（）2，有最大值正确；
③若正实数a、b满足a+b＝1，则，
有最大值正确；
练习3．设，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有的正确结论的序号是 ( )
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】逐一分析所给的不等式：
由于，故，结合可得，说法①正确；
由于，故幂函数在区间上单调递减，结合可得，说法②正确；
由于，故，
对数函数单调递减，故，说法③错误.
综上可得：所有的正确结论的序号是①②.
本题选择B选项.
练习4．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意在区间内有唯一实数解
令
，解得，
∴函数在区间[1，e]上单调递增，
则，则的取值范围为.
故选A.
（三）作差法比较大小
例3．已知，，，则与的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,
所以,故选D.
练习1．设，，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为， 所以
可得
因为，所以递减，
所以
可得，故选D.
练习2．设且，则与的大小关系为( )
A． B． C．与值有关,大小不定 D．以上都不正确
【答案】A
【解析】
，
，
当时, ，；
当时,；
当时,，，
综上可得，故选A.
练习3．若则下列式子：（1），（2），
（3），（4）.其中恒成立的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】(1) =,当a=1,b=-2.时不等式不成立；
(2) =当a=1,b=-1时，不等式不成立；
(3)恒成立.选项正确.
(4),故不正确.
故答案为：A.
（四）作商法比较大小
15．设＜＜＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【答案】C
【解析】∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
故答案为：C
【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
练习1．若a＞0，b＞0，则p＝与q＝ab·ba的大小关系是( )
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q
【答案】A
【解析】,
若则，；
若则，∴
若则，∴p≥q，故选：A
练习2．设， ， ，则三个数从大到小的排列顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得．
∵，∴．
又，∴．
∴．选B．
（五）利用不等式性质证明不等式
例5．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.
（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。
（2）若是“一阶比增函数”，求证：对任意，，总有；
（3）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：关于x的不等式有解.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意得在是增函数.
由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数，
（2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有，
，，
，，
（3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，.取，满足，记，由（II）知，
同理，
所以一定存在，使得，
所以一定有解.
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
练习1．已知数列满足=且= ．
（1）证明：1；
（2）设数列的前n项和为，证明．
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）由题意得，，即，，
由可得，
由，得，故.
（2）由题意得，所以①，
由和得，，
所以，因此②，
由①②得，所以
练习2．选修4-5：不等式选讲
已知为任意实数.
（1）求证：；
（2）求函数的最小值.
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）
，
因为，
所以.
（2） .
即.
点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
（六）利用不等式求范围
例6．已知函数f（x）=x2-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f （1）+f（-1）≥2|x|的解集为A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A=[-1，1] （Ⅱ）（1，]
【解析】（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2|x|可化为|x|≤1，解得-1≤x≤1，
∴A=[-1，1]
练习1．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
【答案】
【解析】由题意得
解得
所以,
因为，所以；
因为，所以。
两式相加得，故的取值范围是.
练习2．设不等式的解集为.
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）令，
由得，
解得．
∴.
（Ⅱ）由不等式，的，
令，
要使，
则，
整理得，
∴，
解得.
∴实数的取值范围．
点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
练习3．已知函数的定义域为，其中为常数；
（1）若，且是奇函数，求的值；
（2）若， ，函数的最小值是，求的最大值；
（3）若，在上存在个点，满足， ，
，使得，
求实数的取值范围；
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得对任意恒成立，变形可得对任意恒成立，可求；(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号，
。两段函数的对称轴都为，因为。讨论 与-1的大小，可得两段二次函数在区间上的单调性，求得最小值。得最小值，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，由绝对值不等式可得，所以，整理得，解得为所求.
试题解析：解：(1)∵是奇函数，∴对任意恒成立，
∴，即对任意恒成立，∴；
(2)
，
∵，∴，∴，
(3)∵，且在上单调递增，在上单调递减，
∴
而
要使满足条件的点存在，必须且只需，即，解得为所求.
【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义；方法二，定义域中特殊的自变量 ， ；方法三，如定义域中含有0，则。2、解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论与定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。
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