人教A版文科数学课时试题及解析（64）坐标系 4页

课时作业(六十四)　[第64讲　坐标系]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为________．‎ ‎2．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为________．‎ ‎3． 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．‎ ‎4． 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．‎ ‎5． 已知圆的极坐标方程为ρ＝4sinθ，则该圆的圆心到直线ρcosθ－ρsinθ＝4的距离是________．‎ ‎6．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是________．‎ ‎7． 极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为________．‎ ‎8． 在极坐标系中，设圆ρ＝上的点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝的距离为d，则d的最大值是________．‎ ‎9． 在极坐标系中，若直线ρsinθ＋＝a被圆ρ＝2截得的弦长为2，则实数a＝________.‎ ‎10． 在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ－2＝0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是________．‎ ‎11． 直线l的极坐标方程为ρsin＝，则l在直角坐标系下的方程是________．‎ ‎12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．‎ ‎13． 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．若直线ρsin＝与直线3x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.‎ ‎14．(10分)极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．‎ ‎15．(13分)如图K64－1，点A在直线x＝4上移动，△POA为等腰直角三角形，‎ 其直角顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．‎ 图K64－1‎ ‎16．(12分)在极坐标系中，已知△ABC三个顶点的极坐标为A(2,10°)，B(－4,220°)，C(3,100°)．‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)求△ABC的边AB上的高．‎ 课时作业(六十四)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.　[解析] 点的直角坐标为 圆ρ＝2cosθ 的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心(1,0)到点(1，)的距离为.‎ ‎2.，(－1，－)　[解析] 点P关于极点的对称点为，即，且x＝2cos＝－2cos＝－1，‎ y＝2sin＝－2sin＝－.‎ ‎3．3　[解析] 由已知得∠AOB＝－＝，所以S△AOB＝×|OA|×|OB|sin＝3.‎ ‎4．x2＋y2－4x－2y＝0　[解析] 由⇒cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ＝＋⇒ρ2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．3　[解析] 直线ρcosθ－ρsinθ＝4化为直角坐标方程为x－y－4＝0，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，由点到直线的距离公式，得圆心(0,2)到直线x－y－4＝0的距离为3.‎ ‎6．ρ＝2cos　[解析] 以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的直角坐标系中的方程是：2＋2＝1，转化为极坐标方程是：ρ＝2cos.‎ ‎7．一条直线和一个圆　[解析] ∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴cosθ＝0或ρ＝4sinθ，则θ＝kπ＋，k∈Z或x2＋y2＝4y，所以极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为：一条直线和一个圆．‎ ‎8．2　[解析] 将ρ(cosθ－sinθ)＝化为直角坐标方程，得x－y－＝0，圆心(0,0)到该直线的距离是d1＝＝，结合图形知d的最大值是d1＋＝2.‎ ‎9．±1　[解析] 由ρsin＝a⇒ρsinθ＋ρcosθ＝a，化为直角坐标方程为x＋y＝a，圆ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，由圆的弦长公式2＝2，得d＝1，即＝1，故a＝±1.‎ ‎10．ρ＝2cosθ　[解析] 直线l的直角坐标方程为x＝2，所以|OM|＝2，圆半径为r＝1，圆心(1,0)，所以圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，化为极坐标方程得ρ＝2cosθ.‎ ‎11．x＋y－2＝0　[解析] 将ρsin＝展开得ρsinθcos＋ρcosθsin＝，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，化简得x＋y－2＝0.‎ ‎12.　[解析] 由极坐标方程与普通方程的互化公式知，这两条曲线的普通方程分别为x2＋y2＝2y，x＝－1.联立方程解得再由互化公式将点(－1,1)化成极坐标为.‎ ‎13．－3　[解析] 直线ρsin＝化为普通方程为x＋y＝1，所以有3＋k＝0⇒k＝－3.‎ ‎14．[解答] 将互化公式分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x＋y－7＝0，‎ 圆心到直线的距离d＝＝4.‎ 所以|AB|的最小值为4－2.‎ ‎15．[解答] 取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，‎ 设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，‎ 因为点A在直线ρcosθ＝4上，‎ 所以ρ0cosθ0＝4.①‎ 因为△POA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，‎ 而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝，‎ 所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.②‎ 把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为 ρcos＝4，即ρ(cosθ＋sinθ)＝4.‎ 所以点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)因为B(－4,220°)即为B(4,40°)，‎ 所以∠AOB＝40°－10°＝30°，∠AOC＝100°－10°＝90°，∠BOC＝100°－40°＝60°，‎ 所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×2×4sin30°＝2，‎ S△OBC＝|OC|·|OB|sin∠BOC＝×3×4sin60°＝3，‎ S△OAC＝|OA|·|OC|sin∠AOC＝×2×3sin90°＝3.‎ 所以S△ABC＝S△OAB＋S△OBC－S△OAC＝2＋3－3＝3－1.‎ ‎(2)设△ABC的边AB上的高为h，‎ 因为|AB|＝＝2，‎ S△ABC＝|AB|h，所以h＝＝，‎ 即△ABC的边AB上的高为.‎