2018届二轮复习选考系列：坐标系学案（全国通用） 6页

坐标系 ‎【考点梳理】‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 ‎(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 图1‎ ‎(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ 刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0)‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎【例1】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎[解析] (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．‎ ‎2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．‎ ‎【对点训练】‎ 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．‎ ‎[解析] (1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：得 ‎∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.∴点A′的坐标为(1，－1).‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．‎ 由伸缩变换φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎∴y′＝x′为所求直线l′的方程.‎ 考点二、极坐标与直角坐标的互化 ‎【例2】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[解析] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎【变式1】若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标．‎ ‎[解析]联立方程 解得θ＝且ρ＝－2.‎ 所以交点的极坐标为.‎ ‎【变式2】本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程．‎ ‎[解析]因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，‎ 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，‎ 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.‎ 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．‎ ‎【对点训练】‎ 在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ ‎[解析] (1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线.‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆.‎ ‎(2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ 因此直线C1过圆C2的圆心.‎ ‎∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．‎ 因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ 考点三、直线与圆的极坐标方程的应用 ‎【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解析] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查 生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．‎ ‎2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．‎ ‎【对点训练】‎ 已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎[解析] (1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.‎ ‎∴ρsin＝.‎ 曲线C2化为＋＝1.(*)‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎