专题21+简单的三角恒等变换（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料 7页

专题21+简单的三角恒等变换 ‎1．已知sin2α＝，则cos2＝(　　)‎ A.　　 B．－ C. D．－ 解析：cos2＝＝＝＝，故选C。‎ 答案：C ‎2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　　)‎ A．1 B. C. D．1＋ 解析：f(x)＝＋sin2x ‎＝sin＋。‎ 又x∈，‎ ‎∴2x－∈，‎ ‎∴f(x)max＝1＋＝.故选C。‎ 答案：C ‎3．函数y＝sin·cos－coscos的图象的一条对称轴方程是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C． x＝－ D．x＝－ 解析：对函数进行化简可得y＝sin·cos－coscos＝sincos＋cossin ‎＝sin＝sin，则由4x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z。‎ 当k＝0时，x＝.故选A。‎ 答案：A ‎4．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP＝PC，CD＞AB，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是(　　)‎ A．AB与AD B．AB与BC C．BD与BC D．AD与AP C选项：假设BD＝BC，则有sinθ＝，即1＋2sin3θcosθ＝sin2θ，无解。‎ D选项：假设AD＝AP，则有sin2θ＋sinθcosθ＝cosθ，令f(θ)＝sin2θ＋sinθcosθ－cosθ＝＋－cosθ，则f(0)＝－1＜0，f＝1－＞0，故必存在θ0使得：f(θ0)＝0，故AD与AP可能重合．D选项正确。‎ 答案：D ‎5．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为(　　)‎ A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c C．d＞a＞b＞c D．c＞a＞d＞b 解析：a＝sin(56°－45°)＝sin11°。‎ b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°。‎ c＝＝cos81°＝sin9°。‎ d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°。‎ ‎∴b＞a＞d＞c。‎ 答案：B ‎6．设M(x∈R)为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f(x)＝|OM|，当x变化时，函数f(x)的最小正周期是(　　)‎ A．30π B．15π C．30 D．15‎ 解析：f(x)＝|OM|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2。‎ 所以其最小正周期T＝＝15。‎ 答案：D ‎7．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是__________。‎ 解析：方法一：设x＝cosα·sinβ，‎ 则sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ＝＋x，‎ sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝－x。‎ ‎∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，‎ ‎∴∴ ‎∴－≤x≤。‎ 方法二：设x＝cosα·sinβ，‎ sinα·cosβ·cosα·sinβ＝x。‎ 即sin2α·sin2β＝2x。‎ 由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x|≤1，‎ ‎∴－≤x≤。‎ 答案： ‎8．函数y＝sin·cos的最大值为__________。‎ ‎9．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为__________。‎ 解析：如图，设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，AB＝，AC＝。‎ 所以S△ABC＝·AB·AC＝。‎ 当2α＝，即α＝时，S△ABC的最小值为h1h2。‎ 答案：h1h2‎ ‎10．已知函数f(x)＝＋2sinx。‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；‎ ‎(2)若f(α)＝2，α∈[0，π]，求f的值。‎ 解析：(1)sinx≠0，解得x≠kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ， k∈Z}，‎ ‎∵f(x)＝＋2sinx＝2cosx＋2sinx ‎＝2 ‎＝2sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T＝＝2π。‎ ‎(2)方法一：由f(α)＝2⇒cosα＋sinα＝1‎ ‎⇒2cosαsinα＝0。‎ ‎∵α∈[0，π]且sinα≠0，∴α＝。‎ ‎∴f＝2sin＝2sin＝。‎ 方法二：由f(α)＝2，α∈[0，π]，得sinα＋cosα＝1⇒cosα＝1－sinα，‎ 代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sinα)2＝1⇒2sinα(sinα－1)＝0。‎ ‎∵sinα≠0，∴sinα＝1，又∵α∈[0，π]，∴α＝，‎ ‎∴f＝2sin＝2sin＝。‎ ‎11．已知函数f(x)＝sin－2sin2x＋1(x∈R)，‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值。‎ 解析：f(x)＝sin－2sin2x＋1‎ ‎＝－cos2x＋sin2x＋cos2x ‎＝cos2x＋sin2x＝sin。‎ ‎(1)最小正周期：T＝＝π，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)可解得：kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为：‎ (k∈Z)。‎ ‎(2)由f(A)＝sin＝可得：2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以A＝，又因为b，a，c成等差数列，‎ 所以2a＝b＋c。‎ 而·＝bccosA＝bc＝9，∴bc＝18。‎ ‎∴cosA＝＝－1‎ ‎＝－1＝－1，‎ ‎∴a＝3。‎ ‎12．设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b。‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；‎ ‎(3)设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0。‎ 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，得f(ωx)的增区间是，k∈Z。‎ ‎∵f(ωx)在上是增函数，‎ ‎∴⊆。‎ ‎∴－≥－且≤，∴ω∈。‎ ‎(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，‎ 即f(x)－2＜m＜f(x)＋2。‎ ‎∵A⊆B，∴当≤x≤π时，‎ 不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立。‎ ‎∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，‎ ‎∵f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2，‎ ‎∴m∈(1,4)。‎ ‎ ‎