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- 2021-06-24 发布
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2019—2020学年度第二学期监测
高二数学
本试卷共4页,共150分,考试时间120分钟.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设函数,则( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据极限的运算法则,直接计算,即可得出结果.
【详解】因为,
所以.
故选:B.
【点睛】本题主要考查极限的运算,属于基础题型.
2.若,则( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据排列数的计算公式,求解,即可得出结果.
【详解】因为,所以,
所以有,
即,解得:.
故选:C.
【点睛】本题主要考查排列数的计算,熟记公式即可,属于基础题型.
3.一物体做直线运动,其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是,则该物体在时的瞬时速度为( )
A. 3 B. 7 C. 6 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
求出即可求出物体在时的瞬时速度.
【详解】解:,当时,.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.
4.函数有( )
A. 极大值6,极小值2 B. 极大值2,极小值6
C. 极小值-1,极大值2 D. 极小值2,极大值8
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的导数,令其为0,解出方程后则可判断函数及导数随自变量的变化情况,从而可求出极值.
【详解】解:令,解得,则随的变化如下表
所以,当时,函数有极大值为;当时,函数有极小值为.
故选:A.
【点睛】本题考查了函数极值的求解.一般求函数的导数时,求出导数后,令导数为0
,解出方程后,画表探究函数、导数随自变量的变化情况,从而可求出极值.
5.已知函数与的图象如图所示,则不等式组解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导函数与原函数单调性关系确定与的图象,然后可得结论.
【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是的图象,虚线是的图象,不等式组解集是.
故选:B.
【点睛】本题考查导函数与函数单调性的关系,属于基础题.
6.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有不同的选法种数为( )
A. 420 B. 660 C. 840 D. 880
【答案】B
【解析】
【分析】
利用间接法可得答案.
【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,
共有种选法,
其中不含女生的有种选法,
所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.
故选:B
【点睛】本题考查了有限制条件的排列组合综合题,使用间接法是解题关键,属于基础题.
7.设,离散型随机变量的分布列是
0
1
2
则当在内增大时( )
A. 增大 B. 减小
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方差公式计算出方差后,利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】,
所以,
所以在上增大,在上减小,即先增大后减小.
故选:D
【点睛】本题考查了离散型随机变量方差公式,以及二次函数的单调性,属于基础题.
8.已知函数在R上为增函数,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
函数在R上为增函数,等价于对恒成立,然后分离变量,得,求出的最小值,就能确定m的取值范围.
【详解】因为函数在R上为增函数,所以对恒成立,即对恒成立,又因为,所以.
故选:A
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围,分离变量是解决本题的关键.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.关于的说法,正确的是( )
A. 展开式中的二项式系数之和为2048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确,不正确,正确,根据项的系数的符号可知不正确.
【详解】的展开式中的二项式系数之和为,所以正确;
因为为奇数,所以展开式中有项,中间两项(第6项和第7
项)的二项式系数相等且最大,所以不正确,正确;
展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,所以不正确.
故选:AC
【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质,考查了二项展开式中项的系数的最值问题,属于基础题.
10.已知函数,则( )
A. 函数一定存在最值
B. ,
C. 若是的极值点,则
D. 若是的极小值点,则在区间单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据时,,当时,,可判断不正确;再结合图象的连续性可判断正确;根据可导函数在极值点处的导数值为零,可判断正确;根据三次函数的单调性可知,不正确.
【详解】,,
当时,,当时,,所以函数无最值,故不正确;
又函数图象是连续不断的,所以函数图象与轴有交点,所以,使,所以正确;
因为是的极值点,且函数是可导函数,所以,故正确;
因为是的极小值点,则在区间上先递增,再递减,故不正确.
故选:BC
【点睛】本题考查了三次函数的图象和性质,考查了函数的极值点,属于基础题.
11.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 乙类水果的平均质量
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用正态分布的性质,逐一进行判断即可.
【详解】由图象可知,甲图象关于直线对称,乙图象关于直线对称
所以,故A,C正确;
因为甲图象比乙图象更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;
因为乙图象的最大值为,即,所以,故D错误;
故选:ABC
【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用,属于中档题.
12.已知函数,则以下结论正确的是( )
A. 函数的单调减区间是
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数,使得成立
D. 对任意两个正实数,,且,若则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A选项,对函数求导,解对应不等式,可判断A;
B选项,令,对其求导,研究单调性,根据零点存在定理,可判断B;
C选项,先由得到,令,用导数的方法判断其单调性,即可判定C;
D选项,令,则,令,对其求导,判定其单调性,得到,令,根据题中条件,即可判定出D.
【详解】A选项,因为,所以,
由得,;由得,,
因此函数在上单调递减,在上单调递增;故A正确;
B选项,令,则显然恒成立;
所以函数在上单调递减;
又,,
所以函数有且仅有一个零点;故B正确;
C选项,若,可得,
令,则,
令,则,
由得;由得;
所以函数在上单调递增,在上单调递减;
因此;所以恒成立,即函数在上单调递减,
所以函数无最小值;
因此,不存在正实数,使得成立;故C错;
D选项,令,则,则;
令,
则,
所以在上单调递减,则,即,
令,由,得,则,
当时,显然成立,
所以对任意两个正实数,,且,若则.故D正确.
故选:ABD
【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的性质即可,属于常考题型.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=x2+lnx在点(1,1)处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求处的导数,再根据切线公式求切线方程.
【详解】解析:,在点(1,1)处的切线斜率为,所以切线方程为.
【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程,属于简单题型.
14.用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的数的个数为______.(用数字作答)
【答案】24
【解析】
【分析】
由题意知,能被5整除的四位数末位必为5,其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.
【详解】解:由题意知,能被5整除的四位数末位必为5,只有1种方法,其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有,
故答案为:24
【点睛】本题考查了分步计数原理的应用,主要抓住能被5整除的整数的特征(末位数为0或5),本题末位数字只能是5,属于基础题.
15.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球,设表示取出的三种颜色球的个数的最大数,则=______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色,计算概率即可.
【详解】当时,随机取出4个球中有3个红球、1个其他色,共有种取法,
随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色,共有种取法,
所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时,共有种取法,
所以,
故答案为:
【点睛】本题主要考查了组合的实际应用,古典概型,考查了推理运算能力,属于中档题.
16.设函数(,,,)若不等式对一切恒成立,则=______,的取值范围为______.
【答案】 (1). 3 (2).
【解析】
【分析】
由,先求导,则不等式对一切恒成立,即为对一切恒成立,结合三次函数的性质则,然后再利用二次函数的性质求解.
【详解】因为,
所以,
因不等式对一切恒成立,
所以对一切恒成立,
所以,
解得或(舍去),
所以对一切恒成立,
当时,,成立,
当时,或,不成立,
当时, 则,解得,
当时,,
当时, ,
综上:的取值范围为.
故答案为:①3;②
【点睛】本题主要考查不等式恒成立,导数的应用以及函数性质的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求下列函数的导数:
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可;
(2)先化简函数,根据商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可.
【详解】(1) .
(2)因为,
则.
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式和和差积商的求导法则,考查了计算能力,属于基础题.
18.2020年寒假是特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;
满意
不满意
总计
男生
20
女生
15
合计
120
(2)从被调查对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为,求出的分布列及期望值.
参考公式:附:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
0.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
【答案】(1)填表见解析;有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”(2)分布列见解析,期望为.
【解析】
【分析】
(1)根据所给数据可得列联表,然后计算可得;
(2)由分层抽样可知男生抽3人,女生抽5人,的可能取值为0,1,2,3,并且服从超几何分布,计算出概率得分布列,再由期望公式计算出期望.
【详解】解:(1)因为男生人数为:,
所以女生人数为,
于是可完成2×2列联表,如下:
满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
50
15
65
合计
80
40
120
根据列联表中的数据,得到的观测值
,
所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.
(2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人,
依题可知的可能取值为0,1,2,3,并且服从超几何分布,
,即
,
,.
可得分布列为
0
1
2
3
可得.
【点睛】本题考查独立性检验,考查分层抽样,考查随机变量的概率分布列和数学期望,解题难点是确定随机变量服从超几何分布,从而易计算概率.
19.已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极大值,求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为,减区间为 (2)
【解析】
【分析】
(1),根据导数的正负得到函数单调性.
(2),讨论和两种情况,根据函数的单调性得到极值情况,得到答案.
【详解】(1)的定义域为,当时,,
令得,令得,所以的增区间为,减区间为.
(2)
①当时,若,则,
此时,在上单调递增
所以函数在处不可能取得极大值,不合题意.
②当时,
极大值
函数在处取得极大值.
综上可知,的取值范围是
【点睛】
本题考查了函数的单调性,根据极值点求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.某工厂生产某种型号的农机具零配件,为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量,以合理安排生产,工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价(单位:元)和销售量(单位:千件)之间的6组数据如下表所示:
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价(元)
11.1
9.1
9.4
10.2
8.8
11.4
销售量(千件)
2.5
3.1
3
2.8
3.2
2.4
(1)根据1至6月份的数据,求关于的线性回归方程(系数精确到0.01);
(2)结合(1)中的线性回归方程,假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元,那么工厂如何制定7月份的销售单价,才能使该月利润达到最大?(计算结果精确到0.1)
参考公式:回归直线方程,
参考数据:,
【答案】(1);(2)销售单价为11.3元时,该月利润才能达到最大
【解析】
【分析】
(1)求出的平均数,利用最小二乘法即可得出关于的线性回归方程;
(2)由题意得出7月份的利润的关系式,结合二次函数的性质,即可得出结论.
【详解】(1)由条件知,,
所以,
故关于的线性回归方程为.
(2)假设7月份的销售单价为元
则由(1)可知,7月份零配件销量为
故7月份的利润,
其对称轴,故7月份销售单价为11.3元时,该月利润才能达到最大.
【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及用回归直线方程进行估计,属于中档题.
21.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD顶点A,B,及CD的中点P处,已知km,,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm.
(I)按下列要求写出函数关系式:
①设,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短.
【答案】(I)①
②
(Ⅱ)选择函数模型①,P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处.
【解析】
【详解】(I)①由条件可知PQ垂直平分AB,,
则
故,又,所以
.
②,则,所以,
所以所求的函数关系式为.
(Ⅱ)选择函数模型①.
.
令得,又,所以.
当时,,是的减函数;
时,,是的增函数.
所以当时.
当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处.
22.已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间上无零点,求的取值范围.
【答案】(1)减区间为,单调递增区间为;(2)
【解析】
【分析】
(1)把代入到中求出,令求出的范围即为函数的增区间,令求出的范围即为函数的减区间;
(2)时不可能恒成立,所以要使函数在上无零点,只需要对时恒成立,列出不等式解出大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函
数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围;
【详解】解:(1)当时,,定义域为,则,
令,得,令,得,
∴的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为.
(2)∵函数在区间上无零点,
∴在区间上,恒成立或恒成立,
,
,
①当时,,
在区间上,,
记,
则,
在区间上,,
∴在区间上,单调递减,∴,
即,∴,
即在区间上恒成立,满足题意;
②当时,,,
,
∵,,∴,
∴在上有零点,即函数在区间上有零点,不符合题意.
综上所述,.
【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件,属于中档题.