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- 2021-06-24 发布
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1.【2012高考真题重庆理2】不等式的解集为
A. B. C. D. 对
2.【2012高考真题浙江理9】设a大于0,b大于0.
A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a>b
C.若2a-2a=2b-3b,则a>b D.若2a-2a=ab-3b,则a<b
3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
【答案】C.
【解析】设生产桶甲产品,桶乙产品,总利润为Z,
则约束条件为,目标函数为,
可行域为,当目标函数直线经过点M时有最大值,联立方程组得,代入目标函数得,故选C.
4.【2012高考真题山东理5】已知变量满足约束条件,则目标函数
的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时
最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A.
5.【2012高考真题辽宁理8】设变量x,y满足则的最大值为
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55
6.【2012高考真题广东理5】已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为
A.12 B.11 C.3 D.-1
【答案】B
【解析】画约束区域如图所示,令得,化目标函数为斜截式方程得,当时,,故选B。
7.【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
8.【2012高考真题江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入减去总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50
如图,由图象可知当直线经过点E时,直线的解决最大,此时取得最大值,由,解得,选B.
9.【2012高考真题湖北理6】设是正数,且,
,,则
A. B. C. D.
10.【2012高考真题福建理9】若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为
A. B.1 C. D.2
【答案】B.
【解析】如图当直线经过函数的图像与直线的交点时,函数的图像仅有一个点在可行域内,有方程组得,所以,故选B.
11.【2012高考真题山东理13】若不等式的解集为,则实数__________.
12.【2012高考真题安徽理11】若满足约束条件:;则的取值范围为.
13.【2012高考真题全国卷理13】若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.
【答案】
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为.
14.【2012高考江苏13】(5分)已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 ▲ .
15.【2012高考江苏14】(5分)已知正数满足:则的取值范围是 ▲ .
【答案】。
【解析】条件
可化为:。
设,则题目转化为:
已知满足,求的取值范围。
16.【2012高考真题浙江理17】设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.
【答案】
17.【2012高考真题新课标理14】 设满足约束条件:;则的取值范围为
【答案】
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得
,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,即,此时,所以,即的取值范围是.
【2011年高考试题】
一、选择题:
1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是
(A)14 (B)16 (C)17 (D)19
2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数,则“”是的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为
(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
【答案】B
【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.
【解析】不等式对应的区域如图所示,
当目标函数过点(0,-1),(0,1)时,分别取最小或最大值,所以的最大值和最小值分别为2,-2.故选B.
4. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
9. (2011年高考天津卷理科8)对实数与,定义新运算“”:
设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11. (2011年高考江西卷理科3)若,则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
12. (2011年高考江西卷理科4)若,则的解集为
A. B. C. D.
13. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为
A. B. C. D.
14. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上动点,点A的坐标为(,1).则的最大值为( )
A. B. C.4 D.3
【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,,所以就是求的最大值,表示
数形结合观察得当点M在点B的地方时,才最大。
,所以,所以选择C
15.(2011年高考湖北卷理科8)已知向量,且,若满足不等式,则z的取值范围为
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
16. (2011年高考湖北卷理科9)若实数满足,且,则称与互补,记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:由,即,故,则,化简得,即ab=0,故且,则且,故选C.
17.(2011年高考重庆卷理科2) “”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
25.(2011年高考上海卷理科15)若,且,则下列不等式中,恒成立的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
二、填空题:
1.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数,若则的最大值是 .。
【答案】
【解析】,
o
第13题图
,故的最大值为
2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量满足约束条件则的最小值为 。
答案: -6
解析:如图可知最优解是(4,-5),所以,
点评:本题考查线性规划问题,求最优解事先要准确画出线性区域是关键。
3.(2011年高考天津卷理科13)已知集合,则集合=________
4. (2011年高考湖南卷理科10)设,且,则的最小值为 .
答案:9
解析:由,且可知:,则
(当且仅当时,取到等号)。故填9
评析:本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题.
5. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
6.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________
7.(2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。
【答案】或
三、解答题:
1.(2011年高考安徽卷理科19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)设证明,
(Ⅱ),证明.
2.(2011年高考广东卷理科21)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。
(1)过点作L的切线教y轴于点
B.证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有
(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b) X;
(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求的最小值 (记为)和最大值(记为).
()设
当
注意到
在(0,2)上,令
由于
在[0,2]上取得最大值
故
,
故
3. (2011年高考湖北卷理科17)(本小题满分12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米,/小时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
4. (2011年高考湖北卷理科21)(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,求函数的最大值;
(Ⅱ)设均为正数,证明:
(1)若,则;
(2)若,则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及化归与转化的思想.
解析:
(Ⅱ)
(2)①先证.
令,则,于是
由(1)得,即
.
②再证.
记,令,则,
于是由(1)得.
即,
综合①②,(2)得证.
5.(2011年高考全国卷理科22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
(Ⅰ)设函数,证明:当时,;
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:
法二:
所以是上凸函数,于是
因此
故
综上:
【2010年高考试题】
(2010浙江理数)(7)若实数,满足不等式组且的最大值为9,则实数
(A) (B) (C)1 (D)2
(2010全国卷2理数)(5)不等式的解集为
(A) (B)
(C) (D)
(2010江西理数)3.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,解得A。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
(2010重庆理数)(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
(2010重庆理数)(4)设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
解析:不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B(3,0)的时候,z取得最大值6
(2010北京理数)(7)设不等式组 表示的平面区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点,则a 的取值范围是
(A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
答案:A
(2010四川理数)(12)设,
则的最小值是w
(A)2 (B)4 (C) (D)5
解析:
=
(2010四川理数)(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱
则
目标函数z=280x+300y
结合图象可得:当x=15,y=55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
答案:B
(2010全国卷1理数)(8)设a=2,b=ln2,c=,则
(A) a0,b>0,称为a,b的调和平均数。如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD,AD,BD。过点C作OD的垂线,垂足为E。则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数。
(2010江苏卷)12、设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是 ▲ 。。
(2010浙江理数)(18)(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。
(Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sin2C=,及0<C<π
所以sinC=.
(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得
c=4
(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求.
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
(2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
解:
(2010江西理数)17.(本小题满分12分)
已知函数。
(1) 当m=0时,求在区间上的取值范围;
(2) 当时,,求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.
解:(1)当m=0时,
,由已知,得
从而得:的值域为
(2010四川理数)(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA=
=bccosA=3>0
∴A∈(0, ),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=
由题意,cosB=,得sinB=
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-…………………………12分
(2010天津理数)(17)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若,求的值。
(Ⅱ)解:由(1)可知
又因为,所以
由,得
从而
所以
(2010广东理数)16、(本小题满分14分)
已知函数在时取得最大值4.
(1) 求的最小正周期;
(2) 求的解析式;
(3) 若(α +)=,求sinα.
,,,,.
(2010山东理数)
(2010湖南理数)16.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(II)求函数的零点的集合。
(2010湖北理数) 16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。
(2010福建理数)19.(本小题满分13分)
。,轮船位于港口O北偏西
且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
【解析】如图,由(1)得
(2010安徽理数)16、(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角所对边长,并且
。
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求(其中)。
(2010江苏卷)17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。
(1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?
(2)由题设知,得,
(2010江苏卷)23.(本小题满分10分)
已知△ABC的三边长都是有理数。
(1) 求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。
①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。
②假设当时,和都是有理数。
当时,由,
,
及①和归纳假设,知和都是有理数。
即当时,结论成立。
综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。
【2009年高考试题】
9.(2009·天津理6)设若的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
11.(2009·天津理10),若关于x 的不等式>的解集中的整数恰有3个,则
(A) (B) (C) (D)
13.(2009·山东12)设x,y满足约束条件 ,
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,
则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
14. (宁夏海南文理6)设满足则
(A)有最小值2,最大值3 (B)有最小值2,无最大值
(C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值
15.(福建9)在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
16.(山东5)在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
解析::根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.
答案:B.
10.(2009·山东13) 不等式的解集为 .
解析::原不等式等价于不等式组①或②
或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为.
答案:
11. (2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 .
12. (2009·广东文14)(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 .
解析:且.
13.(2009·山东文16)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
解析::设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则,甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A类产品 [来源:学科网]
(件)(≥50)
B类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为即:,
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时,目标函数取得最低为2300元.
答案:2300
14. (2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值[来源:Zxxk.Com]
是 .
答案: 4
解析:通过画出其线性规划,可知直线过点时,
三、解答题
2. (宁夏海南24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点,设x表示C与原点的距离,y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
(1)将y表示成x的函数;
(2)要使y的值不超过70,x 应该在什么范围内取值?
3. (江苏12) 20.(本小题满分16分) [来源:学科网]
设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【2008年高考试题】
4.(2008·山东理)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
(A)[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
解析:本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M, 显然,只需要研究过、两种情形。且即
答案:C
4.(2008·广东理)若变量满足则的最大值是( )
A.90 B.80 C.70 D.40
解析:画出可行域(如图),在点取最大值
答案:C
5.(2008·山东理)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为 .
6.(2008·广东理)已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是 .
7.(2008·江苏)的最小值为 。
解析:本小题考查二元基本不等式的运用。由得,代入得,当且仅当时取“=”。
答案:3
8.(2008·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.
答案:
解析:画图确定可行域,从而确定到直线直线距离的最大为
【2007年高考试题】
2.(2007·山东文理2).已知集合,则(B)
(A) (B) (C) (D)
3.已知集合,,则=
A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x |x≥-1}
解析:,故,选(C).
3.(2007·广东理14)(不等式选讲选做题)设函数则=_____;若,则x的取值范围是________;
答案:6;
4.(2007·山东理16)函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.