数学理卷·2019届黑龙江省大庆一中高二上学期期末（第四次月考）考试（2018-01） 10页

大庆一中高二年级上学期第四次月考 数学试卷(理)‎ 命题人：杨丽芹 审题人:徐未婷 考试时间：2018.1.13‎ 请认真作答,祝你取得好成绩！‎ 一、 选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数( ) A. B. C. D. ‎ ‎2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为( ) A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 斜交 ‎3.设集合，，记集合，则集合中元素的个数有( ) A. 3个 B. 0个 C.l个 D.2个 ‎4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的值满足( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4题图 是 否 ‎ ‎ ‎6. 是“的必要不充分条件，则实数 的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7.一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:‎ 零件数(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间(分钟)‎ ‎64‎ ‎69‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎90‎ 由表中数据, 求得线性回归方程, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为( )分钟. A. 100 B. 101 C.102 D.103‎ ‎ 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上任意一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )‎ A.圆 B. 椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎9.是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则( ) A. B. C. D. 1‎ ‎10.已知命题：函数在R上为增函数， ：函数在R上为减函数，‎ 则在命题：，：，：和：中，真命题是( )‎ A.， B.， C.， D.，‎ ‎11.在平面直角坐标系中，过动点分别作圆与圆的切线，若,为原点,则的最小值为( )A． B． C． D．‎ ‎12.设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的离心率，‎ 为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足2=,则的值为( ) ‎ A. 2 B. C. D.1‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分, 计20分）‎ ‎13.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，－，3)，则p在基底{a，b，c}下的坐标为________．‎ ‎14. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为___________.‎ ‎15.已知是双曲线的右焦点,点是的左支上一点,.则周长最小值为________.‎ ‎16.已知点在抛物线上，抛物线的焦点F满足＋＋＝,则 三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）‎ ‎17．(10分） 已知a，b，c分别为ΔABC三个内角A，B，C的对边,且．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)，求ΔABC的面积．‎ ‎18．（12分） 在正项等比数列中，公比，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值.‎ ‎19.(12分) 我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组 ‎ 织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：‎ 看直播 看重播 不看 男性 ‎460‎ m ‎135‎ 女性 ‎404‎ ‎210‎ ‎90‎ ‎　　 按类型用分层抽样的方法抽取份问卷，其中属“看直播”的问卷有份．‎ ‎　 （1）求的值；‎ ‎（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一 ‎ 个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取份，求至少有份是女性问 ‎ 卷的概率；‎ ‎（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性 ‎ 问卷为止，记所要抽取的次数为，直接写出的所有可能取值..‎ ‎20．（12分）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2，‎ 直线与抛物线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程.‎ ‎21．（12分）在直角梯形ABCD中，，,,如图（1）．把沿翻折，使.如图（2），在图（2）中（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若点P在线段AC上，且二面角P—BD—C的大小为，求的值.‎ ‎ ‎ 22． ‎（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．‎ 高二年级上学期第四次月考 数学答案(理)‎ 一. 选择题 DBCACACAACBB 二. 填空题 13. ‎ 14. 15. 32 16. 0‎ ‎17、解：⑴由正弦定理得，‎ ‎ 在中，，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、解：（1）因为，‎ 所以，‎ 因为是正项等比数列，所以，又因为，所以.‎ 由于，所以.………………4分 所以.………………6分 ‎（2）因为，………………8分 所以，………………9分 当时，，所以或者.………………11分 即当取最大值时，.………………12分 ‎19解、（1） ……4分 ‎ （2）p=; ……8分 ‎ （3）的可能值2,3,4. ……12分 ‎ 20． ‎【解析】（Ⅰ）抛物线 的准线为， ‎ 由抛物线定义和已知条件可知，‎ 解得，故所求抛物线方程为. ......................................4分 ‎（Ⅱ）联立，消并化简整理得. ‎ 依题意应有，解得. ..............................................6分 设，则， ‎ 设圆心，则应有.‎ 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为， ........................6分 又 ........8分 所以 ， ‎ 解得. .........................................10分 所以，所以圆心为.‎ 故所求圆的方程为. ............................................12分 ‎ ‎ ‎21.证明:：设M为BC的中点，则由题意得四边形ABMD和AMCD分别正方形和平行四边形. ‎ 所以，故又，即 故平面ABD，又平面BCD，平面 ‎ (本题证明方法很多，请阅卷老师根据考生的具体做法计分)‎ ‎ (2)由(1)设线段BD的中点为O，则知直线OA 、OB、OM两两互相垂直，分别以OA 、OB、OM ‎ ‎ 为轴、轴、轴建立如图所示坐标系，不妨设，‎ ‎ 则,,,‎ ‎ 设，()平面PBD的一个法向量为，‎ 由题意得，又 故有 取，则 ‎，平面PDC的一个法向量为，由已知可得 ‎, 解得，‎ ‎22.试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以 又因为，所以椭圆C的标准方程为． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由，得 ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 所以当时，的最小值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎