【推荐】专题01 空间几何体（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金讲练x 9页

‎ ‎ 一、 学习目标 ‎1．进一步认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；‎ 2． 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述 的三视图所表示的立体模型；‎ ‎3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图；‎ ‎4.了解空间图形的不同表示形式——平行投影与中心投影；‎ ‎5.记住柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并会应用。‎ 二、知识梳理 1、 柱、锥、台、球的结构特征 ‎（1）棱柱：‎ ‎ 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 ‎ 些面所围成的几何体。‎ ‎ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。‎ ‎ 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。‎ 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。‎ ‎（2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。‎ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。‎ 表示：用各顶点字母，如五棱锥。‎ 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。‎ ‎（3）棱台：‎ ‎ 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。‎ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。‎ 表示：用各顶点字母，如五棱台。‎ 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ； ②侧面是梯形 ； ③侧棱交于原棱锥的顶点。‎ ‎（4）圆柱：‎ ‎ 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。‎ 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。‎ ‎（5）圆锥：‎ ‎ 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。‎ 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。‎ ‎（6）圆台：‎ ‎ 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。‎ 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环。‎ ‎（7）球体：‎ ‎ 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。‎ 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。‎ ‎2、空间几何体的三视图 定义三视图：‎ 正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）‎ 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；‎ ‎　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；‎ 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。‎ ‎3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；‎ ‎②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。‎ ‎4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 ‎（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。‎ ‎（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）柱体、锥体、台体的体积公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=‎ 三、典型例题 例1：根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．‎ ‎(1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；‎ ‎(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；‎ ‎(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．‎ ‎【方法规律】根据所给的几何体结构特征的描述，结合所学几何体的结构特征画图或找模型做出判断.‎ 变式练习1.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】 C ‎【解析】如图所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形，但面AA′D′D和面BB′C′C可以为矩形．故选C..‎ 例2.如图，ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则该平面图形的实际面积是________．‎ ‎【解析】由斜二测直观图的作图规则知，该平面图形是梯形，且AB、CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，∴S＝(4＋6)×4＝20.‎ ‎【方法规律】→→→ 变式练习2.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A． 8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3‎ ‎【答案】C 例3.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．‎ ‎【解析】在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成底面半径为r，高为a＋b的圆柱．∴其体积为πr2(a＋b)．‎ ‎【方法规律】当几何体是一个不规则图形，无法直接利用公式来计算其体积，可通过割补法转化为规则的几何体后再利用公式计算．‎ 变式练习3.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为(　　)‎ ‎ (1)　　　　　　(2)‎ A．(1＋2)a2 B．(2＋)a2 C．(3－2)a2 D．(4＋)a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】正方体的边长为a，新几何体的全面积S＝2×a×a＋2×2＋2×a×＝(2＋)a2.‎ 例4.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．‎ ‎【分析】利用圆台的侧面展开图转化到平面图形解决．‎ 变式练习4.圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　)‎ A．10 cm B. cm C．5 cm D．5 cm ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A′到C的线段的长．‎ ‎∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.‎ ‎∴A′C＝＝＝5＝(cm)． ‎ 四、课堂练习 ‎1.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)‎ ‎【答案】B ‎【解析】D选项为主视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B ‎2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C　‎ ‎3.一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_________. ‎ ‎【答案】(π-2):4π ‎【解析】横放时水桶底面在水内的面积为.V水=,直立时V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π ‎ ‎4.棱长为2 cm的正方体容器盛满水，把半径为1 cm的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？ ‎ ‎【答案】‎ 五、课后练习 ‎1.棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】C　‎ ‎【解析】连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)2·＝．故选C.‎ ‎2.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由俯视图可知该几何体为旋转体，由正视图、侧视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．‎ ‎3.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)‎ A. a2 B．2a2 C．a2 D．2a2‎ ‎【答案】B ‎4.一块正方形薄铁片的边长为4‎ ‎ cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如右图所示)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于____cm3.‎ ‎ 【答案】π ‎ ‎【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得，所以这个圆锥的高是，圆锥的体积为 ‎5.一个几何体的三视图(单位：m)如图1316所示，则该几何体的体积为________m3.‎ ‎【答案】9π＋18‎ ‎【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；‎ 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，‎ 所以V＝π×3×2＋1×3×6＝9π＋18.‎ ‎6.圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.‎ ‎【答案】π ‎7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．‎ ‎(1)求剩余部分的体积；‎ ‎(2)求三棱锥AA1BD的高.‎ ‎【答案】(1).a3. (2).a.‎ ‎8.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积．‎ ‎【答案】（1）36 cm；（2）504πcm3．‎ ‎【解析】 (1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，‎ AD＝x，则OD＝72－x，由题意得 ，∴． 即AD应取36 cm．‎ ‎(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，‎ 圆台的高h＝＝＝6．‎ ‎∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．‎