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- 2021-06-24 发布
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1.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+π B.+π
C.+π D.1+π
答案 C
2.封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4πB.C.6πD.
答案 B
解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,V的最大值为.
3.在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD
所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V=V圆柱-V圆锥=π·AB2·BC-·π·CE2·DE=π×12×2-π×12×1=,故选C.
4.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.16 B.8+8
C.2+2+8 D.4+4+8
答案 D
解析 由三视图知,
所以S△PCD=S△PAD=×2×2=2,
S△PAB=S△PBC=×2×2=2.
所以几何体的表面积为4+4+8.
5.在正三棱锥S-ABC中,点M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )
A.6π B.12π
C.32π D.36π
答案 B
6.已知半径为1的球O中内接一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的体积与圆柱的体积的比值为________.
答案
解析 如图所示,
设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积为S=2πr×2=4πr≤4π×=2π(当且仅当r2=1-r2,即r=时取等号).
所以当r=时,
==.
7.如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________.
答案
解析 设直线AC与BD′所成角为θ,平面ACD翻折的角度为α,设点O是AC的中点,由已知得AC=,如图,
所以cosα=-1时,cosθ取最大值.
8.已知在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,且在△ABC中,∠BAC=120°,则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________.
答案
解析 由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,
∴BC2=22+22-2×2×2×(-)=12,
∴BC=2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r,则2r==4,所以r=2.由PA=2且PA⊥平面ABC知球心到平面ABC的距离为1,所以球的半径为R==,所以V球=πR3=.
9.如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面△AEF,则截面△AEF的周长的最小值为____________.
答案 6
10.如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合),使得∠PEB=30°.
(1)求证:EF⊥PB;
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P—EFCB的体积.
(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB,
∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.
又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE,
又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.
(2)解 设BE=x,PE=y,则x+y=4.
∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB
=xy≤2=1.
当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.
此时,BE=PE=2.
∴VP—BCFE=×6×1=2.
易错起源1、三视图与直观图
例1、(1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20πB.24πC.28πD.32π
(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
答案 (1)C (2)D
【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )
(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )
答案 (1)D (2)B
【名师点睛】
空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.由三视图还原几何体的步骤
一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.
易错起源2、几何体的表面积与体积
例2、(1)(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.B.C.D.1
(2)如图,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在C1D1与C1B1上,且C1E=4,C1F=3,连接EF,FB,DE,BD,则几何体EFC1-DBC的体积为( )
A.66 B.68
C.70 D.72
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由三视图知,三棱锥如图所示:
那么几何体EFC1-DBC被分割成三棱锥D-EFC1及四棱锥D-CBFC1,那么几何体EFC1-DBC的体积为V=××3×4×6+××(3+6)×6×6=12+54=66.
故所求几何体EFC1-DBC的体积为66.
【变式探究】某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.
答案
【名师点睛】
(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和.
(2)求体积时可以把空间几何体进行分解,把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.
【锦囊妙计,战胜自我】
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.
易错起源3、多面体与球
例3、(1)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为( )
A.4π B.12π
C.16π D.64π
(2)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
答案 (1)C (2)A
解析 (1)在△ABC中,
设球心为点O,球半径为Rcm,正方体上底面中心为点A,上底面一边的中点为点B,
在Rt△OAB中,OA=(R-2)cm,
AB=4cm,
OB=Rcm,
由R2=(R-2)2+42,得R=5,
∴V球=πR3=π(cm3).故选A.
【变式探究】在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为,,,则三棱锥A-BCD的外接球体积为________.
答案 π
解析 如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,
【名师点睛】
三棱锥P-ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形:
(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点,点A、B、C可作为下底面的三个顶点;
(2)P-ABC为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.
【锦囊妙计,战胜自我】
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.
1.如图所示,将图(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图(2)中的几何体,则该几何体的侧视图为( )
答案 B
解析 由所截几何体可知,FC1被平面AD1E遮挡,可得B图.
2.下图是棱长为2的正方体的表面展开图,则多面体ABCDE的体积为( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 多面体ABCDE为四棱锥(如图),利用割补法可得其体积V=4-=,选D.
3.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A.8-2π B.8-π
C.8- D.8-
答案 B
解析 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成,所以该几何体的体积为V=(22-2××π×12)×2=8-π.
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于( )
A.1B.2C.4D.8
答案 B
解析 如图,
5.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )
A.π B.3π
C.π D.2π
答案 A
解析 如图所示,
6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.
答案 2+
解析 如图,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,
则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=.
而四边形AECD为矩形,AD=1,
∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=+1.
由此可还原原图形如图.
7.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是________cm3.
答案 72 32
解析 由三视图可知,该几何体为两个相同长方体的组合,长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm,其直观图如下:
其体积V=2×2×2×4=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为S=2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=2×(8+32)-8=72(cm2).
8.如图所示,从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD—A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛的水的体积为________cm3.
答案 36
9.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于____________.
答案 2
解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.
由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半径最大,故其半径r=×(6+8-10)=2.
10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E-ABCD.
(1)V=× (8×6)×4=64.
(2)四棱锥E-ABCD的两个侧面EAD,EBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高h1==