数学理卷·2017届天津市第一中学高三下学期第五次月考（2017 10页

天津一中2017届高三年级五月考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若，满足条件则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知命题：，；命题：，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A．14 B．15 C．16 D．17 ‎ ‎5.在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ）‎ A．18 B．99 C．198 D．297 ‎ ‎6.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆：相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.设函数，若方程有12个不同的根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知圆为的内切圆，，，，过圆心的直线交圆于，两点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于 ．‎ ‎11.在的展开式中，的系数是 （结果用数值表示）．‎ ‎12.在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积为，则的最小值为 ．‎ ‎13.若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为 ．‎ ‎14.设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知函数的最小正周期是．‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值和最小值．‎ ‎16.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数．‎ ‎（Ⅰ）请列出的分布列并求数学期望；‎ ‎（Ⅱ）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．‎ ‎17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎18.对于数列，，为数列的前项和，且，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和．　‎ ‎19.已知，为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，的面积为1，（，），当点在椭圆上运动时，试问是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围．‎ ‎20.已知函数．　‎ ‎（Ⅰ）若，证明：函数是上的减函数；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若，证明：（其中…是自然对数的底数）．‎ 天津一中2017届高三年级五月考数学试卷（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-8: ‎ 二、填空题 ‎9.900 10. 11.189 12.12 13. 14. ‎ 三、解答题 ‎15.解：（Ⅰ）函数 ‎．‎ 且的最小正周期是，所以，‎ 从而．‎ 令，解得（），‎ 所以函数在上的单调递增区间为和．　‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以当，即时，取得最小值１，‎ 当，即时，取得最大值；‎ 所以在上的最大值和最小值分别为１，.‎ ‎16.解：（Ⅰ）依题意得，随机变量服从超几何分布，‎ 随机变量表示其中男生的人数，可能取得值为0,1,2,3,4，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（Ⅱ）由分布列可知至少选3名男生，‎ 即．‎ ‎17.（Ⅰ）证明：设与的交点为，连接.‎ 因为为矩形，所以为的中点，‎ 在中，由已知为中点，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）解：取中点，连接. ‎ 因为是等腰三角形，为的中点，‎ 所以，‎ 又因为平面平面，‎ 因为平面，，‎ 所以平面．‎ 取中点，连接，‎ 由题设知四边形为矩形，‎ 所以，‎ 所以．　‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎，，.，.‎ 设平面的法向量为，则即 令，则，，所以.‎ 平面的法向量为，‎ 设，的夹角为，所以.‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．‎ 因此点，，．‎ 由，即．‎ 因为，所以在棱上存在点，使得，‎ 此时．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 以上各式相加可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的前项和．‎ ‎19.解：（Ⅰ）由题意得，‎ 当为短轴端点时，面积取得最大值，‎ 解得，，‎ 即有椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，‎ 可得，‎ 设，，‎ 即有，，‎ ‎，‎ 化简可得．‎ 设，由，可得，．‎ 又因为点在椭圆上，所以有，‎ 整理可得：，‎ 即为．‎ 由，，‎ 可得 ‎，‎ 可得，即有为定值．‎ ‎20.解：（Ⅰ）当时，函数的定义域是，所以，‎ 令，只需证：时，．‎ 又，‎ 故在上为减函数，‎ 所以，‎ 所以，函数是上的减函数．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，，且，‎ 所以，即有，‎ 令，，‎ 则，‎ 故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，‎ 即方程有唯一实根，所以．‎ ‎（Ⅲ）因为，‎ 故原不等式等价于，‎ 由（Ⅰ）知，当时，是上的减函数，‎ 故要证原不等式成立，只需证明：当时，，‎ 令，则，在上的增函数，‎ 所以，即，故，‎ 即．‎