数学文卷·2017届河北省衡水中学高三下学期第六周周测（2017 13页

河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知全集，集合，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2、已知复数，则的共轭复数为 A． B． C． D．‎ ‎3、甲乙丙丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎4、下图是计算 的值的一个程序框图，‎ 其中判断框内可以填的是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎5、已知中心在原点，交点在x轴上点双曲线的离心率为，其焦点到焦点的距离为1，‎ 则此双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎6、某一简单的几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎7、《张丘算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次传，书中有这样的一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量多少尺？该问题的答案为 A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎8、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是 A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎9、以下四个命题中，正确的个数是 A．命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；‎ B．命题“存在”的否定是“对于任意” ‎ C．在中，“”是“”成立的充要条件 ‎ D．若函数在上有零点，则一定有 ‎10、设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是 A． B． C．或 D．‎ ‎11、某工厂生产的A中产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A种产品征收销售额的 的管理费（即销售100天要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则的最大值是 A．2 B．6.5 C．8.8 D．10‎ ‎12、已知函数，若与的图象上分别存在点M、N使得MN关于直线对称，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.‎ ‎13、从中随机抽取了一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数 的图象经过第三象限的概率是 ‎ ‎14、已知实数满足，，则的取值范围是 ‎ ‎15、数列的首项为，数列为等比数列且，若，‎ 则 ‎ ‎16、在等腰直角中，为边上的两个动点，且满足，则的取值范围为 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列的首项为1，设数列的前n项和为，且对任意的正整数n都有。‎ ‎（1）求数列的通项公式及；‎ ‎ （2）是否存在正整数n和，使得成等比数列？若存在，求出n和的值；‎ 若不存在，请说明理由。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕，期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）‎ ‎（1）求；‎ ‎ （2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都是来自中层的概率。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图1，在直角梯形ABCD中，，把沿AC折起到 的位置，使得P点在平面ADC上的正投影恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎ （2）若，求四棱锥的体积。‎ ‎ ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心到原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）已知点在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎ （2）对于任意的非零实数，证明不等式恒成立。‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 为参数）点A、B是曲线C上的两点，点A、B的极坐标分别为。‎ ‎（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；‎ ‎ （2）求的值。‎ ‎23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数。‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎ （2）当时，恒成立，求的取值范围。‎ 附加题：‎ ‎1、设数列满足。‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和。‎ ‎2、设函数。‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。‎ ‎3、已知 椭圆的中心在原点，一个长轴端点为，离心率，过P分别作斜率为的直线PA、PB交椭圆于点A、B。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，则直线AB是否经过某一定点？‎ 参考答案 ‎1．A试题分析：由有，所以集合，‎ ‎；当时，，所以集合,则,故选A.‎ ‎2．C试题分析：,所以的共轭复数 ‎3．D试题分析：相关系数越接近于和残差平方和越小，两变量的线性相关性越强 ‎4．C试题分析：本程序框图的功能是求的值, 而,所以当时要执行循环体,时不执行循环体,输出,得出结果,故,选C.‎ ‎5．A试题分析：由题意设双曲线方程为，则离心率，所以，焦点到渐近线的距离为，所以，双曲线方程为,故选A.‎ ‎6．C试题分析：此几何体是底面为正方形的长方体,由正视图有底面对角线为,所以底边边长为,由侧视图有高为,该几何体的外接球球心为体对角线的中点,设其外接球半径为,则,,表面积,故选C.‎ ‎7．B试题分析：设增量为，故选B.‎ ‎8．C试题分析：选项A, 若，，则或或与相交,A错；选项B, 若，，则或,B错；选项C, 若，，则,C正确；选项D, 若，，则或与相交,D错.故选C.‎ ‎9．B试题分析：对于①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，①错；对于②,命题“存在”的否定是“对于任意” ,②错；对于③，在中，当时，由正弦定理有，由大边对大角有,当时,得，由正弦定理有，所以“”是“”成立的充要条件, ③正确；对于④，举例函数，在上有零点，但 不符合.故只有个正确.‎ ‎10．C试题分析：当时，椭圆焦点在轴上，，，离心率，由有；当时，椭圆焦点在轴上，，离心率，有.故实数的范围是或,选C.‎ ‎11．D试题分析：由已知有，第二年的年销售收入为万元，商场对该商品征收的管理费记为，则，所以，化简得，所以，故得最大值为 ‎ ‎12．B试题分析：设为函数上的一点,则关于直线的对称点为在函数上,所以,,则,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,当时,故,选B.‎ ‎13．试题分析：由题意所有可能的情况有种情况，函数的图象经过第三象限时，配对的情况有共种情况，故函数的图象经过第三象限的概率为.‎ ‎14．试题分析：由已知的不等式组,画出可行域如图阴影部分,三角形三个顶点坐标分别为,,,当取不同值时, 表示的是斜率为 的平行直线系,经过点时,取最小值,在经过点时,取最大值,由于不等式表示的区域不包括直线,所以不能取到最大值,故的取值范围是.‎ ‎15．试题分析：由已知有,,所以,由有,同理得,所以,而数列为等比数列,故.‎ ‎16．试题分析：由已知条件,建立平面直角坐标系,如图,则，线段方程为，设,,由有,所以,由于为边上两个动点,所以,且,当时,有最小值,当或,有最大值.故的取值范围为 ‎17解：（1）‎ 所以，，，………..3分 ‎………6分 ‎（2）.‎ ‎ 12分 ‎ ‎18.解：（1）由题意可得 ，所以，. ……………………3分 ‎（2）记从中层抽取的人为，，，从高管抽取的人为，，‎ 则抽取的人中选人的基本事件有：，，，，，，，，，共种. ……8分 设选中的人都来自中层的事件为，‎ 则包含的基本事件有：，，共种. ………………10分 因此. 故选中的人都来自中层的概率为. …………12分 ‎19.解：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 ‎ 所以平面，所以 因为， 所以是中点， ‎ 所以 ， 所以 同理 又 所以平面平面 …………………6分 ‎（2）因为，，所以，而点分别是的中点，所以， 由题意可知为边长为5的等边三角形，所以高， 即点到平面的距离为，又为的中点，所以到平面的距离为，故. …………………12分 ‎20.解:(1)设椭圆的方程为 则. 由,得，‎ ‎∴椭圆C的方程为. ………………………………… 5分 ‎(2) 当时，、的斜率之和为0,设直线的斜率为, ‎ 则的斜率为,的直线方程为, ‎ 由 整理得,…… 9分 ‎ ,‎ 同理的直线方程为,‎ 可得 ‎ ‎∴ , ……………………………… 12分 ‎ ,‎ 所以的斜率为定值. …………………………………………… 13分 ‎21.‎ ‎，无极小值……………6分 ‎（2）欲证原不等式成立，只需证对任意的 ‎. ‎ 所以：对于任意的非零实数,证明不等式恒成立…..12分 ‎22.(1) 参数方程普通方程 ………3分 普通方程 ……………………6分 方法1：可知,为直径，‎ 方法2直角坐标两点间距离……10分 ‎23.解：（1） ……………………2分 ‎ ……………………5分 ‎（2）恒成立，即 ‎ 附加题：1、(1)∵… ① ‎ ‎∴当时…. ② ‎ ‎①-②,得 在①中,令n=1,得∴. ‎ ‎ (2)∵∴. ∴…. ③ ‎ ‎ ∴…. ④ ‎ ‎ ④-③,得… 即 ‎ ‎ ∴. ‎ ‎2.由解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ ‎3【答案】（1）（2）直线AB恒过点 试题解析：（1）易得椭圆的方程 ‎（2）直线PA，PB的方程分别为由 得，解得或，于是，同理。‎ 直线PA，PB的方程分别为由 得，解得或，于是，同理。由得， 直线：，‎ 令得，则直线AB恒过点