数学理卷·2017届四川省成都石室中学高三上学期期中考试（2016 11页

高2017届2016～2017学年度上期半期考试 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1、若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（ ）‎ ‎2、“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3、已知随机变量服从正态分布，若，则=（）‎ A.B.C.D.‎ ‎4、若数列的前项和为，且则（）‎ A. 200 B. 199 C. 299 D. 399‎ ‎5、若，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则( )‎ A．B．C． D．‎ ‎7、若满足则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、从 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数过点，则函数（）‎ A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 ‎10、在中，是中点，是中点，的交于点 若则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且，是侧面四边形内一点（含边界），若//平面，则直线与面所成角的正弦值的取值范围是（）‎ A.B. C. D.‎ ‎12、若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为()‎ A.B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13、已知是定义在上的奇函数,且当时,,则的值为__________．‎ ‎14、已知展开式的常数项是，则由曲线和 围成的封闭图形的面积为．‎ ‎15、若点和点分别是双曲线的对称中心和左焦点，点为 双曲线右支上任意一点，则的取值范围为________________.‎ ‎16、定义在上的函数满足：（1）当时，；‎ ‎（2）．设关于的函数的零点从小到大一次为，，…，，…．若，则．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分12分）已知向量设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在上的值域；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.‎ ‎18、（本小题满分12分）如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角所成角的余弦值.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．‎ ‎（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：‎ ‎①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ 附临界值表：‎ P（K2≥k）‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ 0.010‎ ‎ 0.005‎ ‎ 0.001‎ ‎ k ‎ 2.072‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 5.024‎ ‎ 6.635‎ ‎ 7.897‎ ‎ 10.828‎ 的观测值：（其中n=a+b+c+d）‎ 关于商品和服务评价的2×2列联表：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 a=120‎ b=　　‎ ‎　　‎ 对商品不满意 c=　　‎ d=20‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ n=200‎ ‎20、（本小题满分12分）已知椭圆：（）的左顶点为，右焦点为，过点作垂直于轴的直线交该椭圆于两点，直线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若的外接圆在点处的切线与椭圆交于另一点，的面积为，求椭圆的标准方程．‎ ‎21、(本小题满分12分）已知函数 当时，求的单调区间；‎ 当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.‎ ‎22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线过点且倾斜角为，在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为 写出曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；‎ 若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.‎ 高2017届2016～2017学年度上期半期考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ DAADC BABDB BC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎; ; ; ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、解析：（Ι）‎ ‎…………………3分 ‎………………4分 当时，即时,‎ 当时，即时,‎ 上的值域为………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎…………8分 ‎，………10分 ‎.………12分 ‎18、解析：(Ι)∵四边形为矩形，∴∽，‎ ‎∴ …1分 又∵矩形中，，∴‎ 在中，∴，‎ 在中，‎ ‎∴，即 ……………2分 ‎∵平面，平面∴……………3分 又∵，平面∴平面 ……………4分 x y z ‎(Ⅱ)由（Ι）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎，…………6分 设是平面的法向量，则 ‎，即，取，得………8分 设是平面的法向量，则 ‎，即，取，得………10分 设平面与平面所成角的大小为，则 ‎………………11分 ‎∵平面与平面成钝二面角 ‎∴二面角所成角的余弦值为. ……………. 12分 ‎19、解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎120‎ ‎40‎ ‎160‎ 对商品不满意 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎140‎ ‎60‎ ‎200‎ ‎…2分 ‎…4分 故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…5分 ‎（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，………6分 X的取值可以是0,1,2,3．‎ 其中P（X=0）=0.43=； P（X=1）=C31•0.6•0.42=；……..7分 P（X=2）=C32•0.62•0.4=； P（X=3）=C33•0.63=．……..9分 X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎… 10分 ‎②由于X～B（3，0.6），则E（X）=3×0.6=1.8，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．‎ ‎20、解：（Ι）由题意, ………………1分 ‎………………3分 ‎………………4分 ‎(Ⅱ)设椭圆的方程为………………5分 的外接圆圆心为,则 ‎………………6分 ‎∴过M的切线方程为:………………7分 联立切线与椭圆方程: ………………8分 ‎ ∴ ‎ ‎∴………………9分 ‎∴………………11分 ‎∴ ‎ ‎∴椭圆的方程为 ………………12分 ‎21、解：…（1分）‎ 当时，，时，，单调递减 时，，单调递增…（2分）‎ 当时，令得 ‎ (i) 当时，，故：‎ 时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，‎ 时，，单调递增；…（4分）‎ ‎ (ii) 当时，，恒成立，‎ 在上单调递增，无减区间；…（5分）‎ 综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是；‎ 当时，的单调增区间是，单调减区间是；‎ 当时，的单调增区间是，无减区间. …（6分）‎ 由知 ‎ 当时，的图象恒在的图象上方 ‎ 即对恒成立 即对恒成立…（7分）‎ 记，‎ ‎…（8分）‎ ‎ (i) 当时，恒成立，在上单调递增，‎ 在上单调递增 ‎，符合题意；…（10分）‎ ‎ (ii) 当时，令得 时，，在上单调递减 时,在上单调递减，‎ 时,，不符合题意…（11分）‎ 综上可得的取值范围是. …（12分）‎ ‎22、解：（Ι）对于C：由，得，进而得曲线的直角坐标方程为：；………………2分 直线过点且倾斜角为，直线的参数方程为(4分)‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程带入的直角坐标方程得：‎ ‎①当时，适合题意，此时（6分）‎ ‎②当时，，此时 综上，直线的倾斜角的值为（10分）‎