数学理卷·2018届天津市第一中学高三上学期第二次月考试题（解析版） 20页

天津一中 2017-2018 高三年级二月考 数学试卷（理） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，则 ( ) A. (-1，1) B. (0，1) C. D. 【答案】B 【解析】 故选 B 2. 如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -3 【答案】B 【解析】试题分析：如图，建立可行域： 目标函数 ，当过点 时，函数取得最大值，最大值是 ，故选 B. 考点：线性规划 3. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条 件 【答案】C 【解析】若公比 ，则当 时 成立； 若公比 ，则 与 符号相同 与 的符号相同，故 即 是 的充要条件 故选 C 4. 已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称，若数列 是公 差不为 0 的等差数列，且 ，则 等于（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】由题意已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称， 可得 的图象关于 对称， 由数列 是公差不为 0 的等差数列，且 ， 可得 ，又 是等差数列， 所以 ， 则 的前 100 项的和为 故选：B． 5. 函数 在点 处的切线斜率为 2，则 的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】函数求导可得 , , = ,等号成立条件 即 ，选 B. 6. 已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 21 【答案】A 【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ， ，即 ，所以 ， ，因此 ，因为 ，所以 的最大值等于 ，当 ， 即 时取等号． 考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式． 7. 已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， , 函数 在区间 内没有零点 (1) ，则 ，则 ，取 ， ； （2） ，则 ，解得： ， 取 ， ； 综上可知： 的取值范围是 ，选 . 【点睛】有关函数 求 的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应 引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准 型，函数 在区间 内没有零点，根据 的范围求出 的范围，使其 在 或在 内，恰好函数无零点，求出 的范围. 8. 已知函数 ，若 有三个互不相等的实根 ，则 的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于 ，不妨设 ，则 ， 则 ， ， ， ， ， 由于 ，则 ， 有 3 个零点， 在 上为增函数，而 ， ，则 . 选 B. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 9.是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为__________. 【答案】 即答案为 10. 有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________ 【答案】 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为 1，可得 故 故半球的体积为： 棱锥的底面面积为：1，高为 1，故棱锥的体积 故组合体的体积为 即答案为 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几 何体的形状是解答的关键． 11. 在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为_________. 【答案】2 【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个 交点 【考点】极坐标 【名师点睛】再利用公式 把极坐标方程化为直角坐标 方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修 课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换. 12. 函数 的最大值是___________. 【答案】1 【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由 可得 ，当 时，函数 取得最大值 1． 13. 数列 满足 ，则数列 的前 100 项和为__________． 【答案】2550 【解析】由 ，可得 ； 同理可得 ； ； ∴数列 的前 100 项满足 是以 12 为首项，16 为公差的等差数列， 则数列 的前 100 项和为 故答案为 2500 14. 如图直角梯形 中， ， ,在等腰直角三角形 中， ,点 分别为线段 上的动点，若 ，则 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】以直线 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ， ， ， ， 设 ， ， ， 则 ， ， ，由 知 ， 所以 ，易知 ，当且仅当 时，取等号，又 时， ， 时， ，所以 ． 点睛：求平面图形中向量数量积一般有两种方法： （1）选取图中不共线的两个向量为基底，把其他向量用基底表示，最后把所求向量的数量 积转化为基底的数量积； （2）在图形中确定两相互垂直的直线，以它们为轴建立平面直角坐标系，写出（或设出） 各点坐标，把向量用坐标表示，这样向量的数量积可以用坐标运算，把形转化为数． 本题利用第二种方法，可以很讯速地确定题中已知条件，并把待求式与已知建立关系，从而 求得结论．在几何关系不容易确定时可以用这种方法，能减少思维量． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 15. 已知 ,角 所对的边分别为 ，且 ，点 在线段 上， . (1)若 的面积为 24，求 的长； (2)若 ，且 ，求 的长. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据三角形面积公式求得 ，再根据余弦定理求 的长；（2） 先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求得 ，根据两角和正弦公式求得 ，最后根据正弦定理解得 的长. 试题解析：解：（Ⅰ）由 ， 解得 . 在 中， ， 即 ， . （Ⅱ）因为 ，且 ，可以求得 ， . 依题意， ，即 ，解得 . 因为 ，故 ，故 . 在 中，由正弦定理可得 ，解得 . 16. 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分 别为 2，3,4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，某人用左右手分别从甲、乙两袋 中取球。 (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左 右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量 ，求 的分布列和期望. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)根据古典概型及对立事件的概率公式可得结果；(2) 依题意, 的可 能取值为 . 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：(1)设事件 为“两手所取的球不同色”,则 = (2)依题意, 的可能取值为 . 左手所取的两球颜色相同的概率为 右手所取的两球颜色相同的概率为 所以 的分布列为: . 视频 17. 如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， 为 的中点. 求证： 平面 ； 求证： 平面 ； 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)详见解析(2) 详见解析（3） 【解析】试题分析：(1) （I）取 中点 ，连 ，由三角形中位线定理，结合已知中 ，易得四边形 是平行四边形，所以 ，再由线面平 面的判定定理，可得 ； （2）由已知中正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，易得 平面 ，进而 ，由勾股定理的逆定理判断出 中， ，由线面垂直的判定定理可得 ； （3）以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面 与平面 所成锐二面角的 余弦值． 试题解析： (1)取 中点 ，连 是平行四边形 (2) (3)如图建系 设面 的法向量 面 法向量 ， 【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定， 熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何 特征是解题的关键． 18. 已知数列 满足 且 ， ，数列 满足 . 求数列 的通项公式； 求数列 的前 项和 ； 对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）详见解析（2） （3） 或 【解析】试题分析：（1）利用已知条件推出 是首项为 3，公比为 3 的等比数列．然后求 解 的通项公式． （2） ，由错位相减法可求出数列 的前 项和 （3）判断数列 单调递减，推出当 时， 取得最大值为 ，则不等式恒成立转化为 ，对任意 恒成立，列出不等式求解即可． 试题解析： (1) 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列， ， (2) ， ， (3) 单调减，∴ ∴ ∴ ∴ 或 19. 已知函数 （其中为自然对数的底数）， . 求函数 的单调区间； 设 ，已知直线 是曲线 的切线，且函数 在 上是增函数. ①求实数的值； ②求实数的取值范围. 【答案】（1）详见解析（2）① ② 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）①根据切线方程求出的值即可；②问题转化为 在 上恒成立，根据函 数的单调性求出的范围即可． 试题解析： (1) ， 或 当 时， 0 （0,2） 2 当 时， 0 （0,2） 2 (2) <1>设切点（ ） ， <2>令 ， ， ， 时 时 ， ， 在 使 ， 在 上↑ 恒成立， 恒成立 令 ， ， ， 当 时 ， 综上： 20. 已知数列 满足 ，且 . 求 的通项公式； 设 ，求数列 的前 项和 ； 设 ，证明： 【答案】（1） （2） （3）详见解析 【解析】试题分析：（1）由数列 满足 ，且 .．当 为奇数时， ，此时数列 成等差数列．当 当为偶数时， ， 此时数列 成等比数列，即可得出． （2） 可得： ．利用“错位相减 法”与分组求和即可得出． （3） 可得 为奇， 为偶，即可证明． 试题解析： （1）当 为奇数时， ，此时数列 成等差数列． 当 当为偶数时， ，此时数列 成等比数列 （2） (3) 为奇 为偶