2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版） 24页

2017-2018 学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷 （理科） 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 ，则 A∩B= （　　） A．（0，2] B．[0，1] C．（0，1] D．[0，2] 2．（5 分）若直线 与直线 l2 的斜率互为相反数，则 l2 的倾斜角为 （　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 3．（5 分）设 m 是一条直线，α，β 是两个不同的平面，给出下列条件，不能得 到 α⊥β 的是（　　） A．m⊂β，m⊥α B．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥β D．m∥α，m⊥β 4．（5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5=20，且 a2，a3，a7 成等比数列， 则公差 d=（　　） A．0 或 3 B．3 C．0 D．2 5．（5 分）某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了 如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组 为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这 400 名大学生中抽出 1 人，每周自习时间少于 20 小时的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）两圆 x2+y2﹣2my+m2﹣1=0 和 x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0 恰有一条公切线， 若 m∈R，n∈R，且 mn≠0，则 的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　） A．36 B．48 C．288 D．576 8．（5 分）将函数 （ ）的图象向右平移 个单位 后得到函数 g（x）的图象，若 g（x）的图象关于直线 对称，则 θ=（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）将半径为 4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）已知 f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满 足 f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）=﹣2，则 f（x）的最大值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．54 B．45 C．27 D．81 12．（5 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 G，H 分别在边 AD，CD 上，AG=GD=DH= DC=8，沿直线 GH 将△DGH 翻折成△D1GH，使二面角 D1﹣GH﹣D 为直角，点 E，F 分别在线段 AB，CH 上，沿直线 EF 将四边形 EFCB 向上折起，使 B 与 D1 重 合，则线段 CF=（　　） A． B． C．1 D．2 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．（5 分）点 M（0，0，a）到点 A（1，0，2）到点 B（2，﹣2，1）的距离相 等，则 a=　 　． 14 ．（ 5 分 ） 设 x ， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x﹣y 的 最 大 值 是　 　． 15．（5 分）设向量 ， 均为单位向量且夹角为 120°，且（ +2 ）•（λ ﹣λ ） =﹣3，则 λ=　 　． 16．（5 分）过点 A（a，0）作圆 C：（x﹣3） 2+（y﹣4）2=4 的一条切线，切点 为 B ， 若 a ∈ [﹣8 ， 9] ， 则 △ ABC 的 面 积 S 满 足 的 概 率 为　 　． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．（10 分）某公司 2016 年前三个月的利润（单位：百万元）如表： 月份 1 2 3 利润 2 3.9 5.5 （1）求利润 y 关于月份 x 的线性回归方程； （2）试用（1）中求得的回归方程预测 4 月和 5 月的利润； （3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司 2016 年从几月份开始利润超过 1000 万？ 相关公式：b= ， = ﹣ ． 18．（12 分）已知直线 m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0． （1）当 a=0 时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直 线 l 的方程； （2）若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 ，判断 m 与 n 的位置关系． 19．（12 分）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，又 PD⊥平 面 ABCD，点 E 是棱 AD 的中点，F 在棱 PC 上 （1）证明：平面 BEF⊥平面 PAD （2）试探究 F 在棱 PC 何处时使得 PA∥平面 BEF． 20．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bsinB=4asinB+5asinA． （1）若 ，求角 C 的大小； （2）若 a=2，且△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 21．（12 分）已知圆 与直线 3x﹣4y+15=0 相切． （1）若直线 l2y=﹣2x+5 与圆 O 交于 M，N 两点，求|MN|； （2）设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A，过点 A 作两条斜率分别为 k1，k2 的直 线交圆 O 于 B，C 两点，且 k1，k2=﹣3，试证明直线 BC 恒过一定点，并求出该 定点的坐标． 22．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，ABCD 是边长为 2 的棱形，且∠DAB=60°， PB=PC，PD=4，E，F 分别是 AD，PA 的中点． （1）证明：AD⊥平面 BEF； （2）若二面角 P﹣AD﹣B 的大小为 30°，求点 D 到平面 PBC 的距离． 　 2017-2018 学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数 学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 ，则 A∩B= （　　） A．（0，2] B．[0，1] C．（0，1] D．[0，2] 【分析】运用一次不等式的解法，化简集合 A，由对数的真数大于 0，化简集合 B，由交集的定义，即可得到所求集合． 【解答】解：集合 ， 可得 A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1}， B={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}， 则 A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]． 故选 C． 【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，同时考查对数的真数大 于 0，考查运算能力，属于中档题． 　 2．（5 分）若直线 与直线 l2 的斜率互为相反数，则 l2 的倾斜角为 （　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 【分析】由已知求得直线 l1 的斜率，进一步得到直线 l2 的斜率，再由斜率是倾 斜角的正切值求得 l2 的倾斜角． 【解答】解：直线 的斜率为 ， ∵直线 与直线 l2 的斜率互为相反数， ∴直线 l2 的斜率 ． 设 l2 的倾斜角为 α（0°≤α＜180°）， 则 tan ，得 α=60°． 故选：B． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题． 　 3．（5 分）设 m 是一条直线，α，β 是两个不同的平面，给出下列条件，不能得 到 α⊥β 的是（　　） A．m⊂β，m⊥α B．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥β D．m∥α，m⊥β 【分析】根据线面平行的性质与面面垂直的判定定理判断． 【解答】解：对于 A，∵m⊥α，m⊂β，∴α⊥β； 对于 B，∵m⊂α，m⊥β，∴α⊥β； 对于 C，∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β； 对于 D，∵m∥α，∴存在直线 n⊂α，使得 m∥n， ∵m⊥β，∴n⊥β，又 n⊂α，∴α⊥β． 故选 C． 【点评】本题考查了面面垂直的判定定理，属于中档题． 　 4．（5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5=20，且 a2，a3，a7 成等比数列， 则公差 d=（　　） A．0 或 3 B．3 C．0 D．2 【分析】根据题意，由等差数列的前 n 项和公式可得 =5a3=20，解 可得 a3 的值，又由 a2，a3，a7 成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d），解可 得 d 的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若 S5=20，即 =5a3=20， 则 a3=4， 又由 a2，a3，a7 成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d）， 即 16=（4﹣d）（4+4d）， 解可得 d=3 或 0， 故选：A． 【点评】本题考查的等差数列的性质，关键是求出该等差数列的通项公式． 　 5．（5 分）某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了 如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组 为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这 400 名大学生中抽出 1 人，每周自习时间少于 20 小时的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由频率分布直方图得每周自习时间少于 20 小时的频率为 0.05．由此能 出从这 400 名大学生中抽出 1 人，每周自习时间少于 20 小时的概率． 【解答】解：由频率分布直方图得： 每周自习时间少于 20 小时的频率为：0.02×2.5=0.05． ∴从这 400 名大学生中抽出 1 人，每周自习时间少于 20 小时的概率为： p=0.05= ． 故选：D． 【点评】本题考查频率及频率分布直方图，频率、概率等有关知识，考查运用统 计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识． 　 6．（5 分）两圆 x2+y2﹣2my+m2﹣1=0 和 x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0 恰有一条公切线， 若 m∈R，n∈R，且 mn≠0，则 的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得 m2+4n2=4，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得 的最小值． 【解答】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 x2+（y﹣m）2=1， （x﹣2n）2+y2=9， 圆心分别为（0，m），（2n，0），半径分别为 1 和 3， 故有 =2，∴m2+4n2=4， 则 = （m2+4n2）（ ） = （8+ + ）≥ ×（8+2 ）=4， 当且仅当 = 时，等号成立， ∴ 的最小值为 4． 故选 A． 【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征， 基本不等式的应用，得到 m2+4n2=4 是解题的关键和难点． 　 7．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　） A．36 B．48 C．288 D．576 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 k=5 时， 满足条件，退出循环，输出 S 的值为 576． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1，S=1 不满足条件 k≥5，S=1，k=2 不满足条件 k≥5，S=4，k=3 不满足条件 k≥5，S=36，k=4 不满足条件 k≥5，S=576，k=5 满足条件 k≥5，退出循环，输出 S 的值为 576． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值是解题的关键，属于基础题． 　 8．（5 分）将函数 （ ）的图象向右平移 个单位 后得到函数 g（x）的图象，若 g（x）的图象关于直线 对称，则 θ=（　　） A． B． C． D． 【分析】利用 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得 出结论． 【解答】解：将函数 （ ）的图象向右平移 个单 位后， 得到函数 g（x）= cos（2x﹣ +θ）的图象， 若 g（x）的图象关于直线 对称，则 ﹣ +θ=kπ，k∈Z， 即 θ=kπ+ ，k∈Z，令 k=﹣1，可得 θ=﹣ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对 称性，属于基础题． 　 9．（5 分）将半径为 4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出半径为 4 的半圆所围成的圆锥底面圆的半径 r 和圆锥内切球的半径 x， 再求内切球的表面积． 【解答】解：半径为 4 的半圆围成一个圆锥，如图所示； 则该圆锥底面圆的半径 r 满足 2πr=π•4， 解得 r=2； 设圆锥内切球的半径为 x，则 =tan30°， 解得 x=rtan30°=2× = ， ∴内切球的表面积为 S=4π• = ． 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥与其内切球的应用问题，是中档题． 　 10．（5 分）已知 f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满 足 f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）=﹣2，则 f（x）的最大值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】由题意可得 f（2）=﹣4，由 f（1）＞f（2），可得 f（x）的单调性，再 由 f（0）=0，求得 f（﹣3），即可得到所求最大值． 【解答】解：对∀x，y∈[﹣3，3]满足 f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）=﹣2， 可得 f（1+1）=2f（1）=﹣4， 即 f（2）=﹣4，f（1）＞f（2）， 又 f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数， 即为递减函数， 由 f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣6， 即 f（3）=﹣6， 又 f（0+0）=2f（0），可得 f（0）=0， 则 f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）=0， 则 f（﹣3）=6， 可得 f（x）在[﹣3，3]的最大值为 6． 故选：C． 【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查函数的单 调性的判断和运用，属于中档题． 　 11．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．54 B．45 C．27 D．81 【分析】根据三视图可得该几何体是四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三棱锥 B﹣A1B1C1，根据数据即可计算． 【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三 棱锥 B﹣A1B1C1， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 V= =3 × 3 × 6﹣ =45． 故选：B 【点评】本题考查了空间几何体的体积计算，由三视图还原几何体是关键． 　 12．（5 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 G，H 分别在边 AD，CD 上，AG=GD=DH= DC=8，沿直线 GH 将△DGH 翻折成△D1GH，使二面角 D1﹣GH﹣D 为直角，点 E，F 分别在线段 AB，CH 上，沿直线 EF 将四边形 EFCB 向上折起，使 B 与 D1 重 合，则线段 CF=（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】设 CF=x，因为翻折后，B 与 D′重合，所以 BF=D′F，根据余弦定理，二面 角的平面角，面面垂直构造关于 x 的方程，解方程即可得到 CF 的长． 【解答】解：设 CF=x， ∵翻折后，B 与 D′重合， ∴BF=D′F， ∵AG=GD=DH= DC=8，∠D=90°， ∴GH=8 ，DC=20，HC=12， 取 GH 的中点 O，连接 OF， ∵二面角 D1﹣GH﹣D 为直角，D′H=D′G， ∴D′O⊥GH， ∴D′O⊥平面 ABCD， 在△FHO 中，∠OHF=135°，FH=12﹣x，OH=4 ， 由余弦定理可得 OF2=OH2+FH2﹣2OH•FH•cos135°=32+（12﹣x） 2+8（12﹣x） =x2﹣32x+272， ∴D′F2=OF2+D′O2=x2﹣32x+272+32=x2﹣32x+304， ∵BF2=BC2+CF2=162+x2=256+x2， ∴x2﹣32x+304=256+x2， ∴32x=48， 解得 x= ， 故选：A 【点评】本题考查了二面角的平面角角，面面垂直，点与面的距离，余弦定理， 解三角形，属于中档题 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．（5 分）点 M（0，0，a）到点 A（1，0，2）到点 B（2，﹣2，1）的距离相 等，则 a=　﹣2　． 【分析】利用空间两点间的距离公式列方程求出 a 的值． 【解答】解：根据题意，|MA|=|MB|， ∴ = ， 化简得﹣2a=4， 解得 a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了空间两点间的距离公式应用问题，是基础题． 　 14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值是　4　． 【分析】作出满足不等式组的可行域，由 z=2x﹣y 可得 y=2x﹣Z 可得﹣z 为该直 线在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可求 z 的最大值 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 所表示的平面区域，如图所示： 由于 z=2x﹣y 可得 y=2x﹣z，则﹣z 表示目标函数在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小 作直线 L：y=2x，然后把直线 l 向平域平移，由题意可得，直线平移到 A 时，z 最 大 由 可得 A（2，0），此时 z=4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础 题． 　 15．（5 分）设向量 ， 均为单位向量且夹角为 120°，且（ +2 ）•（λ ﹣λ ） =﹣3，则 λ=　2　． 【分析】根据平面向量的乘法运算展开解答即可． 【解答】解：∵向量 ， 均为单位向量且夹角为 120°， ∴| |=| |=1， • =| |•| |cos120°=1×1×（﹣ ）=﹣ ， ∵（ +2 ）•（λ ﹣λ ）=﹣3， ∴λ ﹣2λ +λ • =λ﹣2λ﹣ λ=﹣3， 解得 λ=2， 故答案为：2 【点评】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 　 16．（5 分）过点 A（a，0）作圆 C：（x﹣3） 2+（y﹣4）2=4 的一条切线，切点 为 B，若 a∈[﹣8，9]，则△ABC 的面积 S 满足 的概率为　 　． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出△ABC 的面积，利用 S 的取值范围求 出 a 的范围，再计算所求的概率值． 【解答】解：如图所示， AB⊥BC，BC=2， AB= = ， ∴△ABC 的面积为 S= AB×BC= × ×2= ； 又 ， ∴ ≤ ≤ ， 即 ， 解得 ， ∴﹣1≤a≤0 或 6≤a≤7； ∴所求的概率为 P= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题， 是中档题． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．（10 分）某公司 2016 年前三个月的利润（单位：百万元）如表： 月份 1 2 3 利润 2 3.9 5.5 （1）求利润 y 关于月份 x 的线性回归方程； （2）试用（1）中求得的回归方程预测 4 月和 5 月的利润； （3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司 2016 年从几月份开始利润超过 1000 万？ 相关公式：b= ， = ﹣ ． 【分析】（1）根据公式计算 、 ，求出线性回归方程的系数即可写出方程； （2）根据回归方程计算 x=4 和 5 时，计算对应函数值即可； （3）由回归方程列方程求出对应 x 的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得， = =2， = =3.8， ， ， 故利润 y 关于月份 x 的线性回归方程是 ； （2）当 x=4 时， ， 故可预测 4 月的利润为 730 万； 当 x=5 时， ， 故可预测 5 月的利润为 905 万； （3）由 1.75x+0.3=10， 解得 x≈5.5， 故公司 2016 年从 6 月份开始利润超过 1000 万． 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目． 　 18．（12 分）已知直线 m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0． （1）当 a=0 时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直 线 l 的方程； （2）若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 ，判断 m 与 n 的位置关系． 【分析】（1）a=0 时，直线 m 的方程化为：﹣x+3y+6=0，联立 ，解 m 与 n 的交点．当直线 l 过原点时，可得直线 l 的斜率与方程；当直线 l 不过原点 时，设 l 的方程为 ，将（﹣21，﹣9）代入得 b，可得满足条件的直线 l 方程． （2）设原点 O 到直线 m 的距离为 d，可得 ，解得 a， 利用相互平行或垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 【解答】解：（1）a=0 时，直线 m 的方程化为：﹣x+3y+6=0， 联立 ，解得 ，即 m 与 n 的交点为（﹣21，﹣9）． 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 3x﹣7y=0； 当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为 ，将（﹣21，﹣9）代入得 b=﹣12， 所以直线 l 的方程为 x﹣y+12=0，故满足条件的直线 l 方程为 3x﹣7y=0 或 x﹣y+12=0． （2）设原点 O 到直线 m 的距离为 d， 则 ，解得： 或 ， 当 时，直线 m 的方程为 x﹣2y﹣5=0，此时 m∥n； 当 时，直线 m 的方程为 2x+y﹣5=0，此时 m⊥n． 【点评】本题考查了直线的截距式、直线的交点、相互平行或垂直的直线斜率之 间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 19．（12 分）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，又 PD⊥平 面 ABCD，点 E 是棱 AD 的中点，F 在棱 PC 上 （1）证明：平面 BEF⊥平面 PAD （2）试探究 F 在棱 PC 何处时使得 PA∥平面 BEF． 【分析】（1）根据 BE⊥AD，BE⊥PD 可得 BE⊥平面 PAD，故而平面 BEF⊥平面 PAD； （2）连结 AC 交 BE 于 M，连结 FM，根据线面平行可得 PA∥FM，于是 = ． 【解答】（1）证明：∵底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∵E 是 AD 的中点，∴BE⊥AD． ∵PD⊥平面 ABCD，BE⊂平面 ABCD， ∴PD⊥BE． 又 AD∩PD=D，AD⊂平面 PAD，PD⊂平面 PAD， ∴BE⊥平面 PAD， 又 BE⊂平面 BEF， ∴平面 BEF⊥平面 PAD． （2）解：连结 AC 交 BE 于 M，连结 FM． ∵PA∥平面 BEF，PA⊂平面 PAC，平面 PAC∩平面 BEF=FM， ∴PA∥FM． ∴ ， 又△AME∽△CMB， ∴ ． ∴ ． ∴F 在棱 PC 靠近 P 的三等分点时，PA∥平面 BEF． 【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题． 　 20．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bsinB=4asinB+5asinA． （1）若 ，求角 C 的大小； （2）若 a=2，且△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 【分析】（1）求出 b=5a，再根据余弦定理求出 C 的值即可； （2）通过讨论 C 为锐角或 C 为钝角时的情况，根据余弦定理求出 c 的值，求出 三角形的周长即可． 【解答】解：（1）∵bsinB=4asinB+5asinA，∴5a2+4ab﹣b2=0，∴b=5a． ∵ ，∴ ．∵C∈（0，π），∴ ． （2）∵a=2，∴b=10，∴ ，∴ ． 当 C 为锐角时， 由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC= ， ∴ ，此时△ABC 的周长为 ． 当 C 为钝角时， 由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC= ， ∴ ，此时△ABC 的周长为 ． 【点评】本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想，是一道中档 题． 　 21．（12 分）已知圆 与直线 3x﹣4y+15=0 相切． （1）若直线 l2y=﹣2x+5 与圆 O 交于 M，N 两点，求|MN|； （2）设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A，过点 A 作两条斜率分别为 k1，k2 的直 线交圆 O 于 B，C 两点，且 k1，k2=﹣3，试证明直线 BC 恒过一定点，并求出该 定点的坐标． 【分析】（1）圆心 O 到直线 3x﹣4y+15=0 的距离 d=3=r，从而圆 O：x2+y2=9．求 出圆心 O 到直线 l：y=﹣2x+5 的距离，由此能出弦长|MN|． （2）由题意 A（﹣3，0），设 B（x1，y1），C（x2，y2），则直线 AB：y=k1（x+3）， 由 ，得 ，由此利用韦达定理、直线的斜 率公式，结合已知条件能证明直线 BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 ， 圆 心 O 到 直 线 3x﹣4y+15=0 的 距 离 ， 所以圆 O：x2+y2=9． 又圆心 O 到直线 l：y=﹣2x+5 的距离 ， 所以 ． 证明：（2）由题意 A（﹣3，0），设 B（x1，y1），C（x2，y2），则直线 AB：y=k1 （x+3）， 由 ，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ． 由 k1k2=﹣3 得 ，将 代替上面的 k1， 同理可得 ， 所以 ， 从而直线 ． 即 ， 化简得 ． 所以直线 BC 恒过一定点，该定点为 ． 【点评】本题考查弦长的求法，考查直线恒过定点的证明，考查圆、直线方程、 点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档 题． 　 22．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，ABCD 是边长为 2 的棱形，且∠DAB=60°， PB=PC，PD=4，E，F 分别是 AD，PA 的中点． （1）证明：AD⊥平面 BEF； （2）若二面角 P﹣AD﹣B 的大小为 30°，求点 D 到平面 PBC 的距离． 【分析】（1）取 BC 中点 G，连接 GD，GP，BD．证明 BC⊥DG．BC⊥PG．即可证 明 BC⊥平面 DGP．证明 EF∥PD，BE∥DG．推出平面 BEF∥平面 PDG，然后证明 AD⊥平面 BEF． （2）说明∠FEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角，即∠FEB=30°．求出三棱锥 P﹣BCD 的高为 2．求出三棱锥 P﹣BCD 的体积，利用三棱锥 P﹣BCD 的体积与三棱锥 D﹣PBC 的体积相等．求解即可． 【解答】（1）证明：取 BC 中点 G，连接 GD，GP，BD． 在△BCD 中，BC=CD，∠DCB=∠DAB=60°， 所以△BCD 为正三角形． 又 G 为 BC 中点，BC⊥DG． 因为 PB=PC，所以 BC⊥PG． 又 DG∩PG=G，故 BC⊥平面 DGP． 因为 E，F 分别是 AD，PA 的中点，所以 EF∥PD，BE∥DG． 又 BE∩EF=E，所以平面 BEF∥平面 PDG 又 AD∥BC，故 AD⊥平面 BEF． （2）解：因为 AD⊥平面 BEF，所以 AD⊥EF，AD⊥BE， 则∠FEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角，即∠FEB=30°． 因为 PD=4，所以 EF=2． 因为 AB=2AE=2，且∠DAB=60°，所以 ． 所以 BF=1，且 BF⊥BE． 因为 AD⊥平面 BEF，所以 AD⊥BF． 所以 BF⊥平面 ABCD，所以三棱锥 P﹣BCD 的高为 2． 于是三棱锥 P﹣BCD 的体积 ． 在△ABF 中，BF=1，AB=2，BF⊥AB，所以 ． 则 在 △ ABP 中 ， ． 所以 ，于是△PBC 的面积 ． 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d，三棱锥 P﹣BCD 的体积与三棱锥 D﹣PBC 的体积 相等． 所以 ，故 ． 【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求 法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．