福建省永春第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 10页

永春一中高二年期末考数学（理）科试卷（2019．07）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。‎ ‎1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数 A． B． C． D．‎ ‎2．已知随机变量的分布列为，，则 A． 6 B．9 C．3 D．4‎ ‎3．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成 A．假设当时，能被整除 B．假设当时，能被整除 C．假设当时，能被整除 D．假设当时，能被整除 ‎4．曲线与直线围成的封闭图形的面积为 A． 　B． 　C． 　　D．‎ ‎5．随机变量服从正态分布，且．已知，则函数图象不经过第二象限的概率为 A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000‎ ‎6．有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为 A．18 B．15 C．16 D．25‎ ‎7．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是 A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ B．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎8．某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为 A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元 ‎9．若，则 A．－1 B．1 C．2 D．－2‎ ‎10．将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6 点”，则概率等于 A． B． C． D．‎ ‎11．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数．正实数满足 ‎，则下述结论中正确的一项是 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设为实数时，实数的值是 ．‎ ‎14．4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则所有不同的录取方法种数为 ．‎ ‎15．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：，，，．‎ 则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，．‎ ‎16．将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表：‎ 则该数表中，从小到大第50个数为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23‎ 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在数列中，，，其中实数．‎ ‎（1）求，并由此归纳出的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）的结论．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说明理由．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在的展开式中，求：‎ ‎（1）第3项的二项式系数及系数；‎ ‎（2）奇数项的二项式系数和；‎ ‎（3）求系数绝对值最大的项。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为，定义吻合度误差为．‎ ‎（1）写出吻合度误差的可能值集合；‎ ‎（2）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差的分布列；‎ ‎（3）某人连续进行了四轮“放球”，若都满足，试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立) ．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当a =1时，求在时的最小值；‎ ‎（2）若存在单调递减区间，求a的取值范围；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．‎ ‎（1）求与交点的极坐标；‎ ‎（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线 的参数方程是(为参数)，求的值．‎ ‎23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）‎ ‎（1）求的解集M；‎ ‎（2）设a，b，c且a＋b＋c＝1．求证：＋＋≥2．‎ 永春一中高二年期末考数学（理）科参考答案（2019.07）‎ 一、选择题 ‎1-5 AADBC 6-10 BBDAA 11-12 AA 二、填空题 ‎13．3 14．36 15．1.818 2(＝－1.818 2x＋77.364) 16．1040‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由，及 得，‎ 于是猜测：‎ ‎（2）下面用数学归纳法予以证明：‎ 当时，由显然结论成立．‎ 假设时结论成立，即 则，当时，由 显然结论成立．‎ 由、知，对任何都有 ‎18．解：（1）设“抽到积极参加班级工作的学生”为事件A，‎ ‎ “抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生”为事件B，‎ ‎ 则，‎ ‎（2）由K2的观测值 由于11.538>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．‎ ‎19．解：（1）第3项的二项式系数为，第三项的系数为 ‎（2）奇数项的二项式系数和 ‎（3）设系数绝对值最大的项为第（r +1）项 则，所以 又,所以r =2‎ ‎∴系数绝对值最大的项为．‎ ‎20．解：（1）由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数的个数与中偶数的个数相同．因此，与的奇偶性相同，从而吻合度误差只能是偶数，又因为的值非负且值不大于8．因此，吻合度误差的可能值集合．‎ ‎（2）用表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为，则所有可能的结果如下：‎ 易得，，，，‎ 于是，吻合度误差的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（3）‎ 由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为 ‎21．解：（1）的定义域为．‎ ‎∵，‎ ‎∴在上是增函数．‎ 当时，的最小值为；（3分）‎ ‎（2）∵‎ ‎∵若存在单调递减区间，‎ ‎∴有正数解．即有的解．（5分）‎ ‎①当时，明显成立．‎ ‎②当时，为开口向下的抛物线，故 总有的解；‎ ‎③当时，为开口向上的抛物线，‎ 故方程必须有正根 ‎∵，∴方程有两正根 ‎∴，解得．‎ 综合①②③知：．（9分）‎ ‎（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即 令，则有 ‎∴．（12分）‎ ‎（法二）①当n=1时，ln（n+1）=ln2．‎ ‎∵3ln2=ln8>1，∴，即n=1时命题成立．‎ ‎②设当n=k时，命题成立，即．‎ ‎∴当n=k+1时，‎ 根据（1）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，‎ 则有，即n=k+1时命题也成立．‎ 因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）‎ 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（2）中通过求 后，转化为“有的解”的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（3）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．‎ ‎22．解：(1)将代入，得．‎ 所以或，‎ 取得；取得．‎ 所以与交点的极坐标是，或．‎ ‎(2)把直线PQ参数方程化为普通方程得．‎ 由(1)得的直角坐标分别是，，代入得 解得．‎ ‎23．解：（1）f(x)＝|x|－|2x－1|＝ 由f(x)>－1，得或或解得0