湖南省怀化市中方县第二中学2020届高三全国统一冲刺考试数学（文）试卷 17页

湖南省怀化市中方县第二中学2020届高三全国统一冲刺考试数学(文)试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知函数是减函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知是第一象限角，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设向量，与的夹角为，且，则的坐标为（ ）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎6．已知数列的前项和为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知为锐角，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，是两条异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若平面，则 B．若平面，则，‎ C．若存在平面，使得，，‎ D．若存在平面，使得，，‎ ‎9．已知两点，，若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在区间上随机取一个数，使的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知，为椭圆的左、右焦点，为的短轴的一个端点，‎ 直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数 ．‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 ．‎ ‎15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了件产品的净重，所得数据均在内，将所得数据按，，，，分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的件产品中，净重在区间内的产品件数是 ．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，是双曲线的一条渐近线上的一点，分别为双曲线的左右焦点，若，则双曲线的左顶点到直线 的距离为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，是判断的形状并给出证明．‎ ‎18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：‎ 他们用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：‎ 残差图 ‎（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；‎ ‎（2）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：‎ ‎（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；‎ ‎（ⅱ）广告投入量时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？‎ 附：对于一组数据，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎19．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，点，是椭圆上两个动点，直线，的斜率分别为，，若，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试探求的面积是否为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）当时，判断的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2），为曲线上两点，若，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围 文 科 数 学答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】，，所以，‎ 所以．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】因为，所以由，得，，‎ 显然当时，，所以充分性成立，‎ 当，时，，而，无意义，故必要性不成立．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】令，，‎ 因为，所以，‎ 令，则，，‎ 因为是偶函数，所以，所以．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】因为是第一象限角，，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 整理得，解得或（舍去）．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】设，则，即①，‎ 又，即，则②．‎ 由①②，得或，故或．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】方法一：当时，，则，‎ 当时，，则，所以，‎ 所以数列从第二项起是公比为的等比数列，所以，‎ 所以．‎ 方法二：当时，，则，所以，‎ 结合选项可得只有B满足．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】方法一：∵为锐角，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时等号成立．‎ 方法二：∵为锐角，∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】对于A，直线可以在平面内，也可以与平面相交；‎ 对于B，直线可以在平面内，或者在平面内；‎ 对于D，如果，，则有，与条件中两直线异面矛盾．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】以为直径的圆的方程为，‎ 则由题意知圆与圆有公共点，‎ 则，解得．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】当时，，所以，‎ 所以，所以，‎ 故由几何概型的知识可知，所求概率．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】如图不妨设点在轴的正半轴上，‎ 根据椭圆的定义，得，，‎ 由题意知，所以，，，所以．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】易知函数是上的偶函数，且在上单调递增，‎ 又，‎ 所以不等式对于恒成立，‎ 等价于对于恒成立，‎ 即对于恒成立．‎ 令，则，‎ 解得或，满足①式．‎ 令，令，‎ 则当时，即时，满足②式子；‎ 当，即时，不满足②式；‎ 当，即或时，‎ 由，，‎ 且或，知不存在使②式成立．‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，由题意知，解得．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】易知数列的周期为，各项依次为，，，，，，，，，‎ 执行程序框图，，；，；，；‎ ‎，；；，；，，‎ 不满足判断框中的条件，退出循环，‎ 此时输出的．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，，，，构成等差数列，‎ 设公差为，由小矩形的面积之和为，可得，‎ 即，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以净重在内的频率为，‎ 则净重在区间内的产品件数为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题意知双曲线的一条渐近线的方程为，所以直线的方程为．‎ 在中，原点为线段的中点，所以，‎ 又，所以，‎ 又，，所以，，‎ 则双曲线的左顶点的坐标为，‎ 该点到直线的距离为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）为等边三角形，证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由，可知，‎ 根据余弦定理可知，，‎ 又为的内角，所以．‎ ‎（2）方法一：为等边三角形．‎ 由三角形内角和定理得，故，‎ 根据已知条件，可得，整理得，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 又由（1）知，所以为等边三角形．‎ 方法二：为等边三角形．‎ 由正弦定理和余弦定理及已知条件，得，‎ 整理得，即，‎ 又由（1）知，所以为等边三角形．‎ ‎18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）；（ⅱ）万元．‎ ‎【解析】（1）应该选择模型①，‎ 因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，‎ 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，‎ 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．‎ ‎（2）（ⅰ）剔除异常数据，‎ 即月份的数据后，得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以关于的回归方程为．‎ ‎（ⅱ）把代入（ⅰ）中所求回归方程得．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图，取的中点为，连接，‎ 由题意得，平面平面，平面平面，‎ 平面平面，∴，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵，为的中点，∴，∴．‎ ‎∵平面平面，且平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴．‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ 由（1）知平面，∴．‎ ‎∵正三角形的面积等于，‎ ‎∴，，直角梯形的面积等于，‎ ‎∴，∴，‎ ‎．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，存在，∴，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，即，时，‎ 由，得，‎ 又由在椭圆上，得，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎②当直线斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，得，满足，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积为定值．‎ ‎21．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）．‎ ‎【解析】（1）的定义域为，‎ 当时，，‎ 令，得，‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）记，则在上单调递增，且，‎ ‎∴，即，‎ 令，∴在上有两个零点等价于在上有两个零点．‎ ‎①当时，，在上单调递增，且，故无零点；‎ ‎②当时，，在上单调递增，‎ 又，，故在上只有一个零点；‎ ‎③当时，由可知在时有唯一的极小值．‎ 若，，无零点；‎ 若，，只有一个零点；‎ 若，，而，‎ 由在时为减函数，可知当时，，从而，‎ ‎∴在和上各有一个零点，‎ 综上当时，有两个零点，即实数的取值范围是．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得曲线的普通方程是，‎ 将，代入，得，‎ 即（）．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由，得，‎ 设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，‎ 所以 ‎．‎ ‎23．【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，即．‎ ‎①当时，不等式即，解得，所以；‎ ‎②当时，不等式即，解得，所以；‎ ‎③当时，不等式即，解得，所以，‎ 综上所述，当时，不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在上恒成立，所以，‎ 即，即，‎ 所以，解得，‎ 故实数的取值范围是