数学文卷·2017届湖南省六校（湘潭市一中、长沙一中、师大附中等）高三下学期联考（2017 13页

湖南省2017届高三六校联考试题 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.某产品的广告费用（百万元）与销售额（百万元）的统计数据如下表：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎55‎ ‎75‎ 根据表中数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ）‎ A．46 B．48 C．50 D． 52‎ ‎4. 已知双曲线的焦距为，渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，若，则的取值为（ ）‎ A．2 B． -1或2 C. 或2 D．1或2‎ ‎6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“‎ 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ）‎ A．6 B． 7 C. 8 D．9‎ ‎7.运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中应填写的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知抛物线，直线，与交于两点，若，则（ ）‎ A． 8 B．4 C. 2 D．1‎ ‎10. 已知函数的图象为，则：①关于直线对称；②关于点对称；③在上是增函数；④由的图象向右平移 个单位长度可以得到图象.以上结论正确的有：（ ）‎ A． ①② B．①③ C. ②③④ D．①③④‎ ‎11.如图，格纸上正方形的边长为1，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12.若函数在区间内有极大值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.已知向量满足，若，则 ．‎ ‎14. 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．‎ ‎15. 半径为2的球面上有三点，满足，若为球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为 ．‎ ‎16.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设函数.‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）设为的三个内角，，且为锐角，，求的取值范围.‎ ‎18. 长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.‎ ‎（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自 元区间的概率；‎ ‎（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案.‎ 方案一：全场商品打八折.‎ 方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）.‎ ‎19. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，平面平面，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知动圆在圆外部且与圆相切，同时还在圆内部与圆相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为，是上异于的动点，又直线与轴交于点，直线分别交直线于两点，求证：为定值.‎ ‎21. 已知.‎ ‎（1）记，讨论的单调性；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的最大整数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACDAB 6-10: DABCD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 1 14. 6 15. 16. 14‎ 三、解答题 ‎17.解析: （1），‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当时，.‎ ‎（2），∴，‎ 又∵为锐角，∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎18.【解析】（1）由直方图可知，按分层抽样在内抽6张，‎ 则内抽4张，记为，在内抽2张，记为，‎ 设两张小票均来自为事件，‎ 从中任选2张，有以下选法：共15种.‎ 其中，两张小票均来自的有，共6种，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.‎ 方案一购物的平均费用为：‎ ‎（元）‎ 方案二购物的平均费用为：‎ ‎（元）.‎ ‎∴方案一的优惠力度更大.‎ ‎（2）解法二：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，‎ 方案一平均优惠金额为：‎ ‎（元）.‎ 方案二平均优惠金额为：（元）‎ ‎∴方案一的优惠力度更大.‎ ‎19.【解析】‎ ‎（1）连结交于，连结，‎ 在菱形中，，‎ ‎∵，为中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面，又，‎ ‎∴平面.‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，故.‎ ‎∴，‎ ‎∵为等腰三角形，∴.‎ 设到平面的距离为，则，‎ ‎∴.‎ ‎20.【解析】（1）设动圆的半径为，由已知得 ‎,‎ ‎，‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 方程为.‎ ‎（2）解法一：设，由已知得，‎ 则，直线的方程为：，‎ ‎，直线的方程为：，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 又∵满足，‎ ‎∴，‎ ‎∴为定值.‎ ‎（2）解法二：由已知得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，存在且不为零.‎ ‎∴的方程为：，的方程为：，‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 联立方程求出点坐标为，‎ 将点坐标代入椭圆方程得 ‎，‎ 即，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴为定值.‎ ‎21．【解析】（1）的定义域为，‎ ‎.‎ 令得或.‎ ‎∴当时，在上单调递增；‎ 当时，令，得，令，得，‎ ‎∴在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，令，得，令，得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）可知，在上恒成立，‎ 当时，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 故时，在上恒成立.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 而，‎ 欲使在上恒成立，则只须，‎ ‎∵，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故的最大整数为2.‎ ‎22.【解析】（1）设，由得①，‎ 又的上，∴（为参数），②‎ 将②代入①得（为参数），即为的参数方程.‎ ‎（2）解法一：的参数方程化为普通方程为，‎ 对应的极坐标方程为，‎ 的参数方程化为普通方程为，‎ 对应的极坐标方程为，‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 解法二：的参数方程化为普通方程为，‎ 的参数方程化为普通方程为，‎ 又射线化为普通方程为，‎ 联立与射线方程解得点直角坐标为，‎ 联立与射线方程解得点直角坐标为.‎ ‎∴.‎ ‎23.【解析】（1），‎ 当时，解得，‎ 当时，无解，‎ 当时，解得.‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2）由已知恒成立，‎ ‎∴恒成立，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴时，不等式恒成立.‎