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  • 2021-06-24 发布

高中数学第一章 §3 反证法 课件

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1 第一章 推理与证明 §3 反证法 2 综合法特点 : 由因导果 由 已知 结论 分析法特点: 执果索因 即: 由 结果 找条件 倒推 复习 3 思考? A 、 B 、 C 三个人, A 说 B 撒谎, B 说 C 撒谎, C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎,为什么? 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 那么假设 “ C 没有撒谎” 不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . 那么 A 假且 B 假 ; 这与 B 假矛盾 . 推出矛盾 . 推翻假设 . 原命题成立 . 分析 : 由假设 4 反证法: ① 假设原命题不成立, ② 经过正确的推理 , 得出矛盾, ③ 因此说明假设错误 , ④ 从而证明原命题成立 , 这样的的证明方法叫 反证法 反证法的基本步骤: 四步 得出矛盾的方法: ( 1 )与已知条件矛盾; ( 2 )与已有公理、定理、定义矛盾; ( 3 )自相矛盾。 5 应用反证法的情形: (1) 直接证明比较困难 ; (2) 直接证明需分成很多类 , 而对立命题分类较少 ; ( 3) 结论有“至少” ,“ 至多” ,“ 有无穷多个”之类字样 ( 4 )结论为 “唯一”之类的命题; 6 例 1 、 已知 a 是整数, 2 能整除 ,求证: 2 能整除 a . 证明:假设命题的结论不成立,即 “ 2 不 能整除 a ” 。 因为 a 是整数,故 a 是奇数, a 可表示为 2m + 1 ( m 为整数),则 ,即 是奇数。所以, 2 不 能整除 。这与 ” 相矛盾。于是, “ 2 不 能整除 a ” 已知“ 2 能整除 这个假设错误,故 2 能整除 a . 7 例 2 、 在同一平面内,两条直线 a , b 都和直线 c 垂直。求证: a 与 b 平行。 证明: 假设命题的结论不成立,即 “ 直线 a 与 b 相交 ” 。设直线 a , b 的交点为 M , a , c 的交点为 P , b , c 的交点为 Q ,如图所示,则 。 这样 的内角和 这与定理 “ 三角形的内角和等于 ” 相矛盾,这说明假设是错误的。 所以 直线 a 与 b 不相交,即 a 与 b 平行。 8 解题反思: 证明以上题时,你是怎么想到反证法的? 反设时应注意什么? 反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类? 9 例 3 、 已知 a≠0 , 证明:关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根。 10 例 4 、 求证: 是无理数。 解题反思: 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类? 例 5: 已知直线 和平面 , 如果 且 , 求证 : . a b 因为 ,所以 . 证明:因为 a∥b ,所以经过直线 确定一个平面 . 证明:因为 a∥b 直线 确定一个平面 . 下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点 . 假设直线 与平面 有公共点 P, 则 , 即点 P 是直线 a 与 b 的公共点 , 这与 矛盾 , 所以 . 因为 , 而 所以 与 是两个不同的平面 . P 综合法 反证法 感受反证法 : 练习 1 . 求证: 在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等. 这与已知条件 AB≠AC 相矛盾,假设错误。 求证:∠ B ≠ ∠C 尝试解决问题 已知:在 △ ABC 中, AB≠AC 。 证明:假设∠ B = ∠C 。 所以 AB=AC (等角对等边) 所以∠ B ≠ ∠C 。 练习 2 . 已知:如图△ ABC 中, D 、 E 两 点分别在 AB 和 AC 上 求证: CD 、 BE 不能互相平分 ( 平行四边形对边平行) 证明:假设 CD 、 BE 互相平分 连结 DE , 故四边形 BCED 是平行四边形 ∴BD∥CE 这与 BD 、 CE 交于点 A 矛盾 假设错误, ∴ CD 、 BE 不能互相平分 14 归纳总结: 1. 哪些命题适宜用反证法加以证明? 笼统地说, 正面证明繁琐或困难时宜用反证法; 具体地讲, 当所证命题的结论为 否定形式 或 含有 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 等不确定词, 此外, “ 存在性 ” 、 “ 唯一性 ” 问题 . 15 2. 归谬 是 “ 反证法 ” 的核心步骤,归谬得到的逻辑矛盾,常见的类型有哪些? 归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾,或与已知条件、临时假设矛盾,以及自相矛盾等各种情形 . 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x, 成立 对任意 x , 不成立 3. 准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的,下面是一些常见的结论的否定形式 .   不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有( n-1) 个 至少有( n+1) 个 存在某 x , 不成立 存在某 x, 成立 不等于 某个 17

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