高中数学第一章 §3 反证法 课件 17页

1 第一章 推理与证明 §3 反证法 2 综合法特点 ： 由因导果 由 已知 结论 分析法特点： 执果索因 即： 由 结果 找条件 倒推 复习 3 思考？ A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？ 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 那么假设 “ C 没有撒谎” 不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . 那么 A 假且 B 假 ; 这与 B 假矛盾 . 推出矛盾 . 推翻假设 . 原命题成立 . 分析 : 由假设 4 反证法： ① 假设原命题不成立， ② 经过正确的推理 , 得出矛盾， ③ 因此说明假设错误 , ④ 从而证明原命题成立 , 这样的的证明方法叫 反证法 反证法的基本步骤： 四步 得出矛盾的方法： （ 1 ）与已知条件矛盾； （ 2 ）与已有公理、定理、定义矛盾； （ 3 ）自相矛盾。 5 应用反证法的情形： (1) 直接证明比较困难 ; (2) 直接证明需分成很多类 , 而对立命题分类较少 ; （ 3) 结论有“至少” ,“ 至多” ,“ 有无穷多个”之类字样 （ 4 ）结论为 “唯一”之类的命题； 6 例 1 、 已知 a 是整数， 2 能整除 ，求证： 2 能整除 a . 证明：假设命题的结论不成立，即 “ 2 不 能整除 a ” 。 因为 a 是整数，故 a 是奇数， a 可表示为 2m + 1 （ m 为整数），则 ，即 是奇数。所以， 2 不 能整除 。这与 ” 相矛盾。于是， “ 2 不 能整除 a ” 已知“ 2 能整除 这个假设错误，故 2 能整除 a . 7 例 2 、 在同一平面内，两条直线 a ， b 都和直线 c 垂直。求证： a 与 b 平行。 证明： 假设命题的结论不成立，即 “ 直线 a 与 b 相交 ” 。设直线 a ， b 的交点为 M ， a ， c 的交点为 P ， b ， c 的交点为 Q ，如图所示，则 。 这样 的内角和 这与定理 “ 三角形的内角和等于 ” 相矛盾，这说明假设是错误的。 所以 直线 a 与 b 不相交，即 a 与 b 平行。 8 解题反思： 证明以上题时，你是怎么想到反证法的？ 反设时应注意什么？ 反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？ 9 例 3 、 已知 a≠0 ， 证明：关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根。 10 例 4 、 求证： 是无理数。 解题反思： 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？ 例 5: 已知直线 和平面 , 如果 且 , 求证 : . a b 因为 ，所以 . 证明：因为 a∥b ，所以经过直线 确定一个平面 . 证明：因为 a∥b 直线 确定一个平面 . 下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点 . 假设直线 与平面 有公共点 P, 则 , 即点 P 是直线 a 与 b 的公共点 , 这与 矛盾 , 所以 . 因为 , 而 所以 与 是两个不同的平面 . P 综合法 反证法 感受反证法 : 练习 1 . 求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 这与已知条件 AB≠AC 相矛盾，假设错误。 求证：∠ B ≠ ∠C 尝试解决问题 已知：在 △ ABC 中， AB≠AC 。 证明：假设∠ B = ∠C 。 所以 AB=AC （等角对等边） 所以∠ B ≠ ∠C 。 练习 2 . 已知：如图△ ABC 中， D 、 E 两 点分别在 AB 和 AC 上 求证： CD 、 BE 不能互相平分 （ 平行四边形对边平行） 证明：假设 CD 、 BE 互相平分 连结 DE ， 故四边形 BCED 是平行四边形 ∴BD∥CE 这与 BD 、 CE 交于点 A 矛盾 假设错误， ∴ CD 、 BE 不能互相平分 14 归纳总结： 1. 哪些命题适宜用反证法加以证明？ 笼统地说， 正面证明繁琐或困难时宜用反证法； 具体地讲， 当所证命题的结论为 否定形式 或 含有 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 等不确定词， 此外， “ 存在性 ” 、 “ 唯一性 ” 问题 . 15 2. 归谬 是 “ 反证法 ” 的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？ 归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形 . 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x, 成立 对任意 x ， 不成立 3. 准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式 .   不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有（ n-1) 个 至少有（ n+1) 个 存在某 x ， 不成立 存在某 x, 成立 不等于 某个 17