数学卷·2018届吉林省松原市扶余一中高二上学期期中数学试卷（理科）+（解析版） 25页

‎2016-2017学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．3＜m＜5是方程+=1表示椭圆的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x等于（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣6‎ ‎3．如果椭圆的两焦点为F1（0，﹣1）和F2（0，1），P是椭圆上的一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（　　）‎ A． =（1，0，0），=（﹣2，0，0） B． =（1，3，5），=（1，0，1）‎ C． =（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1） D． =（1，﹣1，3），=（0，3，1）‎ ‎5．已知向量，下列向量中与平行的向量是（　　）‎ A． B． C． D．（3，﹣6，1）‎ ‎6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．抛物线y=8x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣ D．y=﹣‎ ‎8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知双曲线的左、右焦点为F1和F2，在左支上过点F1的弦AB的长为10，若2a=9，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．16 B．26 C．21 D．38‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣x2=50 D．x2﹣y2=10‎ ‎12．下列说法正确的是（　　）‎ ‎①||﹣|=0 ‎ ‎②|+=14‎ ‎③|﹣|=6 ‎ ‎④|﹣|=18．‎ A．①表示无轨迹 ②的轨迹是射线 B．②的轨迹是椭圆 ③的轨迹是双曲线 C．①的轨迹是射线④的轨迹是直线 D．②、④均表示无轨迹 ‎13．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎14．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则△F1PF2的形状为（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎　‎ 二.填空题 ‎15．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：‎ ‎①焦点在x轴上；‎ ‎②焦点在y轴上；‎ ‎③抛物线的通径的长为5；‎ ‎④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；‎ ‎⑤抛物线的准线方程为x=﹣；‎ ‎⑥由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．‎ 能使抛物线方程为y2=10x的条件是　　．‎ ‎16．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F恰好是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则双曲线的离心率是　　．‎ ‎17．过点M（5，），且以直线y=±x为渐近线的双曲线方程为　　．‎ ‎18．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m=　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共60分）‎ ‎19．已知双曲线的焦点在x轴上，|F1F2|=2，渐近线方程为，问：过点B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．‎ ‎（1）求证：A1C⊥平面BCDE；‎ ‎（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．‎ ‎21．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=qSn﹣1+1，其中q＞‎ ‎0，n＞1，n∈N*．‎ ‎（1）若2a2，a3，a2+2 成等差数列，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线x2﹣=1 的离心率为en，且e2=3，求e+e+…+e．‎ ‎22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=3，AC=AA1=6，AD=CD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角D1﹣AC﹣B1的正切值．‎ ‎23．设圆x2+y2+4x﹣32=0的圆心为A，直线l过点B（2，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．3＜m＜5是方程+=1表示椭圆的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若+=1表示椭圆，‎ 则，得，即3＜m＜5且m≠4，‎ 则3＜m＜5是方程+=1表示椭圆的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x等于（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣6‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用已知条件求出+，然后（+）•=0，求出x即可．‎ ‎【解答】解： =（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），‎ ‎+=（﹣2，1，x+3），‎ ‎∵（+）⊥，‎ ‎∴（+）•=0‎ 即﹣2﹣x+2（x+3）=0，解得x=﹣4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．如果椭圆的两焦点为F1（0，﹣1）和F2（0，1），P是椭圆上的一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程（a＞b＞0），由于|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，及P是椭圆上的一点，可得2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=4=2a，即可得到a，又c=1，再利用b2=a2﹣c2即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），‎ ‎∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，‎ ‎∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=4=2a，‎ 解得a=2，又c=1，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3．‎ 故椭圆的方程为．‎ 故答案选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其定义、性质、等差数列的意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（　　）‎ A． =（1，0，0），=（﹣2，0，0） B． =（1，3，5），=（1，0，1）‎ C． =（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1） D． =（1，﹣1，3），=（0，3，1）‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】根据l∥α时， •=0，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．‎ ‎【解答】解：若l∥α，则•=0，‎ 而A中•=﹣2，不满足条件；‎ B中•=1+5=6，不满足条件；‎ C中•=﹣1，不满足条件；‎ D中•=﹣3+3=0，满足条件．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了向量语言表述线面的垂直和平行关系的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量，下列向量中与平行的向量是（　　）‎ A． B． C． D．（3，﹣6，1）‎ ‎【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【分析】根据共线向量定理：如果≠0，那么向量与共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得=λ，进行逐一判定即可．‎ ‎【解答】解：选项A： =，不存在唯一实数λ，使得=λ，故不符合题意；‎ 选项B： =，存在唯一实数﹣5，使得=﹣5，故符合题意；‎ 选项C： =，不存在唯一实数λ，使得=λ，故不符合题意；‎ 选项D： =（3，﹣6，1），不存在唯一实数λ，使得=λ，故不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量共线（平行）的坐标表示，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】设A1C1∩B1D1=O1，根据线面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面AA1O1，再根据面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，利用等面积法求出A1H即可．‎ ‎【解答】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，‎ 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，‎ 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，‎ AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．抛物线y=8x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣ D．y=﹣‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．‎ ‎【解答】解：因为抛物线y=8x2，‎ 可化为：x2=y，‎ ‎∴2p=，‎ 则线的准线方程为y=﹣．‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．‎ ‎【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），‎ 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）‎ ‎∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．‎ ‎∴cos＜，＞═=．‎ ‎∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 故答案为D．‎ ‎【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线的左、右焦点为F1和F2，在左支上过点F1的弦AB的长为10，若2a=9，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．16 B．26 C．21 D．38‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的定义可得AF2+BF2 =28，△ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线的定义可得 AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，‎ ‎∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=18，即AF2+BF2 ﹣10=18，AF2+BF2 =28．‎ ‎△ABF2（F2为右焦点）的周长是 （ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=28+10=38．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =28是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．‎ ‎【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，‎ ‎∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，‎ 又A1D=A1B=DB=AB，‎ 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣x2=50 D．x2﹣y2=10‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，，‎ 解得a2=50，b2=50，‎ ‎∴双曲线的方程是y2﹣x2=50，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．下列说法正确的是（　　）‎ ‎①||﹣|=0 ‎ ‎②|+=14‎ ‎③|﹣|=6 ‎ ‎④|﹣|=18．‎ A．①表示无轨迹 ②的轨迹是射线 B．②的轨迹是椭圆 ③的轨迹是双曲线 C．①的轨迹是射线④的轨迹是直线 D．②、④均表示无轨迹 ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】利用几何意义，结合椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：﹣，表示（x，y），到（﹣4，0），（4，0）距离的差； +，表示（x，y），到（﹣4，0），（4，0）距离的和，‎ 结合选项，可知②的轨迹是椭圆 ③的轨迹是双曲线，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解椭圆、双曲线的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【考点】空间向量的数量积运算；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A、PC与BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，‎ 对于B、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AD，又由AD⊥AB，则有AD⊥平面PAB，进而有AD⊥PB，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，‎ 对于C、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又由AD⊥AB，则有AB⊥平面PAD，进而有AB⊥PD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，‎ 对于D、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．‎ ‎　‎ ‎14．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则△F1PF2的形状为（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，求cos∠PF2F1的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程=1，则a=，b=，c=2，‎ 设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，‎ ‎∴|PF1|=4，|PF2|=2，‎ ‎∵|F1F2|=2c=4，‎ ‎∴cos∠PF2F1==﹣＜0，‎ ‎∴∠PF2F1为钝角．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎15．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：‎ ‎①焦点在x轴上；‎ ‎②焦点在y轴上；‎ ‎③抛物线的通径的长为5；‎ ‎④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；‎ ‎⑤抛物线的准线方程为x=﹣；‎ ‎⑥由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．‎ 能使抛物线方程为y2=10x的条件是　①⑤⑥　．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】根据抛物线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：抛物线方程为y2=10x中，焦点在x轴上，抛物线的准线方程为x=﹣；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．‎ 故答案为①⑤⑥．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F恰好是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则双曲线的离心率是　+1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．‎ ‎【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ‎∴两条曲线交点为（，p），即（c，p）‎ 代入双曲线方程得化简得 c4﹣6a2c2+a4=0‎ ‎∴e4﹣6e2+1=0‎ ‎∴e2=3+2=（1+）2‎ ‎∴e=+1‎ 故答案为+1．‎ ‎【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．‎ ‎　‎ ‎17．过点M（5，），且以直线y=±x为渐近线的双曲线方程为　﹣=1　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】依题意，可设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，将点M（5，）的坐标代入求得λ即可 ‎【解答】解：设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，‎ ‎∵点M（5，）为该双曲线上的点，‎ ‎∴λ=（5+3）（5﹣3）=16，‎ ‎∴该双曲线的方程为：x2﹣4y2=16，即﹣=1．‎ 故答案为﹣=1．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查待定系数法的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m=　6　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线离心率公式变形可得e2=1+，对于题目所给的两个双曲线可得：e12=1+=3和e22=1+，两者离心率相等，可得1+=3，解可得m的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，对于双曲线﹣=1，‎ 其离心率e=，‎ 则e2===1+，‎ 对于双曲线﹣=1，其离心率为e1，则e12=1+=3，‎ 对于双曲线﹣=1，其离心率为e2，则e22=1+，‎ 而两个双曲线有相同的离心率，则有1+=3，‎ 解可得m=6；‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，要掌握并灵活运用双曲线离心率的计算公式．‎ ‎　‎ 三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共60分）‎ ‎19．（2016秋•扶余县校级期中）已知双曲线的焦点在x轴上，|F1F2|=2，渐近线方程为，问：过点B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，求出a，b，可得双曲线方程；先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在两张千克设出直线l的方程，当k存在时，结合双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则根据△＞0及其P是线段AB的中点，找出矛盾，然后判断当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．‎ ‎【解答】解：根据题意，c=， =，‎ ‎∴a=1，b=，∴双曲线的方程是： =1．‎ 过点P（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1或x=1‎ ‎①当k存在时，联立方程可得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0 ‎ 当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 ‎△=（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＞0，k＜，‎ 又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标 ‎∴x1+x2=，‎ 又∵P（1，1）是线段AB的中点，‎ ‎∴=2，解得k=2．‎ ‎∴k=2，使2﹣k2≠0但使△＜0‎ 因此当k=2时，方程（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0 无实数解 故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．‎ ‎②当x=1时，直线经过点P但不满足条件，‎ 综上所述，符合条件的直线l不存在．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线的性质的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（2016秋•扶余县校级期中）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．‎ ‎（1）求证：A1C⊥平面BCDE；‎ ‎（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥CD，从而DE⊥A1C．再由A1C⊥CD，能证明A1C⊥平面BCDE．‎ ‎（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM与平面A1BE所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．‎ ‎∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC．‎ ‎∴DE⊥A1C．‎ 又∵A1C⊥CD，‎ ‎∴A1C⊥平面BCDE．‎ 解：（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ C（0，0，0），A1（0，0，3），D（0，3，0），M（0，，），B（6，0，0），E（4，3，0），‎ ‎=（0，），=（﹣6，0，3），=（﹣2，3，0），‎ 设平面A1BE的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1， =（1，，），‎ 设CM与平面A1BE所成角为θ，‎ sinθ===．‎ ‎∴CM与平面A1BE所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．‎ ‎　‎ ‎21．（2016秋•扶余县校级期中）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=qSn﹣1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N*．‎ ‎（1）若2a2，a3，a2+2 成等差数列，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线x2﹣=1 的离心率为en，且e2=3，求e+e+…+e ‎．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．‎ ‎（2）由（1）可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=1 的离心率为en，且e2=3，分析可得e2=q=2，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+8n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）：∵Sn+1=qSn+1 ①，‎ ‎∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相减可得an+1=q•an，‎ 即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．‎ 当n=1时，‎ ‎∵数列{an}的首项为1，‎ ‎∴a1+a2=S2=q•a1+1，‎ ‎∴a2 =a1•q，‎ ‎∴数列{an}为等比数列，公比为q．‎ ‎∵2a2，a3，a2+2成等差数列，‎ ‎∴2a3 =2a2+a2+2，‎ ‎∴2q2=2q+q+2，求得q=2，‎ 则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，‎ 则an=1×2n﹣1=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，‎ 则an=1×qn﹣1=qn﹣1；‎ 若e2=3，则e2==3，‎ 解可得a2=2，‎ 则a2=q=2，即q=2，‎ an=1×qn﹣1=qn﹣1=（2）n﹣1，‎ 则en2=1+an2=1+8n﹣1，‎ 故e12+e22+…+en2=n+（1+8+82+…+8n﹣1）=n+‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．‎ ‎　‎ ‎22．（2016秋•扶余县校级期中）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=3，AC=AA1=6，AD=CD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角D1﹣AC﹣B1的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面ABCD．‎ ‎（2）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正切值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，‎ 则A（0，0，0），B（0，3，0），C（6，0，0），D（3，﹣4，0），‎ A1（0，0，6），B1（0，3，6），C1（6，0，6），D1（3，﹣4，6），‎ 又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（3，，3），N（3，﹣4，3）．‎ 由题可知： =（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量， =（0，﹣，0），‎ ‎∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）解：由（1可知： =（3，﹣4，6），=（6，0，0），=（0，3，6），‎ 设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，‎ 得，‎ 取z=2，得=（0，3，2），‎ 设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，‎ 得，‎ 取z=1，得=（0，﹣2，1），‎ ‎∵cos＜＞==﹣，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正切值为．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行和、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（2016秋•扶余县校级期中）设圆x2+y2+4x﹣32=0的圆心为A，直线l过点B（2，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（2）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ方程，求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，‎ 所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，‎ 又圆A的标准方程为（x+2）2+y2=36，从而|AD|=6，所以|EA|+|EB|=6，‎ 由题设得A（﹣2，0），B（2，0），|AB|=4＜|EA|+|EB|，‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： =1（y≠0）．‎ ‎（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由直线与椭圆方程，联立得（9k2+5）x2﹣36k2x+36k2﹣45=0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 所以|MN|=‎ 过点B（2，0）且与l垂直的直线m：y=﹣（x﹣2），点A到m的距离为，‎ 所以|PQ|=2=4，‎ 故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=20．‎ 可得当l与x轴不垂直时，由k≠0，得四边形MPNQ面积的取值范围为（20，12）．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x=2，四边形MPNQ的面积为20．‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[20，12）．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．‎ ‎　‎