数学卷·2018届甘肃省天水一中高三上学期开学数学试卷（理科）（解析版） 13页

‎2017-2018学年甘肃省天水一中高三（上）开学数学试卷（理科）‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4分）已知A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ）‎ A．{1} B．{1，﹣1，5} C．{﹣1} D．{1，﹣1，﹣5}‎ ‎【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，‎ 则A∩B={﹣1}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集的运算，是对基本知识的考查．‎ ‎ ‎ ‎2．（4分）sin75°sin15°+cos75°cos15°的值为（ ）‎ A．1 B．0 C． D．‎ ‎【分析】直接利用两角和与差的余弦函数，通过特殊角的三角函数求解即可．‎ ‎【解答】解：sin75°sin15°+cos75°cos15°=cos（75°﹣15°）=cos60．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角是三角函数求值，考查计算能力．‎ ‎ ‎ ‎3．（4分）在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解的情况是（ ）‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 ‎【分析】‎ 利用正弦定理列出关系式，将b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判断．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB===＞1，‎ 则此三角形无解．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎4．（4分）设a=40.8，b=80.4，c=，则（ ）‎ A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞d＞b D．a＞b＞c ‎【分析】先将指数化成都以2为底，然后根据函数y=2x在R上单调性进行比较即可．‎ ‎【解答】解：a=40.8=21.6，b=80.4=21.2，c==21.5，‎ 根据函数y=2x在R上单调递增 而1.2＜1.5＜1.6‎ ‎∴21.2＜21.5＜21.6，即b＜c＜a 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，解题的关键是将指数化成同底，属于基础题．‎ ‎ ‎ ‎5．（4分）定义在实数集R上的凼数f（x）图象连续不断，且f（x）满足xf′（x）＜0，则必有（ ）‎ A．f（﹣2）+f（1）＞f（0） B．f（﹣1）+f（1）＞2f（0） C．f（﹣2）+f（1）＜f（0） D．f（﹣1）+f（1）＜2f（0）‎ ‎【分析】先由xf′（x）＜0便可得到 ‎，从而根据极大值的定义即可判断出f（0）是f（x）的极大值，并是最大值，从而f（﹣1）＜f（0），f（1）＜f（0），所以便得到f（﹣1）+f（1）＜2f（0）．‎ ‎【解答】解：由xf′（x）＜0得：‎ x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；‎ ‎∴f（0）是f（x）的极大值，也是最大值；‎ 所以对于任意x∈R，f（x）≤f（0）；‎ ‎∴；‎ 所以必有f（﹣1）+f（1）＜2f（0）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查极大值的定义，以及利用导数判断极大值的过程，以及最大值的概念，及其求法．‎ ‎ ‎ ‎6．（4分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，数形结合可得结论．‎ ‎【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，如图所示：‎ 故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象 的交点个数为2，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎7．（4分）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（ ）‎ A．2800元 B．3000元 C．3800元 D．3818元 ‎【分析】根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元，求出这个人应得稿费（扣税前）．‎ ‎【解答】解：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得 y=．‎ 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，‎ ‎∴（x﹣800）×14%=420，‎ ‎∴x=3800．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分段函数及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．‎ ‎ ‎ ‎8．（4分）已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，则m的取值范围（ ）‎ A． B． C．1＜m＜2 D．2＜m＜3‎ ‎【分析】设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围．‎ ‎【解答】解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，‎ 问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点 分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则 ‎，解得﹣＜m＜﹣，‎ 故m的范围是 （﹣，﹣），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数零点判定定理的应用；体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎9．（4分）设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）‎ A． B．﹣4 C． D．4‎ ‎【分析】由f（x）是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），再由x＜0时，f（x）=2x，求出g（x）的解析式，再求出g（2）的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2x，‎ ‎∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=，‎ 即，．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值，注意利用负号对自变量进行范围的转化．‎ ‎ ‎ ‎10．（4分）函数y=x•2x的部分图象如下，其中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】判断四个选择项中哪三个图象反映的性质与函数y=x•2x的实际性质不符，即可排除之．‎ ‎【解答】解：当x=0时，y=0，所以A项不正确；‎ 当x＞0时，函数递增，所以D项不正确；‎ 又y′=2x•（1+xln2），显然x＜0时，导数符号可正可负，函数有增有减，所以B项不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的性质与识图能力，一般利用排除法求解．‎ ‎ ‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．（4分）函数，则它的值域为 ．‎ ‎【分析】先整理函数的解析式，进而设t=2x，根据x的范围确定t的范围，进而求得函数是关于t的一元二次函数，根据其性质及t的范围求得函数的最大和最小值．‎ ‎【解答】解： =（2x）2﹣2x+1‎ 设t=2x，∵x∈[﹣3，2]‎ ‎∴≤t≤4‎ ‎∴y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，开口向上，对称轴为x=，≤t≤4‎ ‎∴≤y≤13‎ 故函数的值域为 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的值域．解题的关键是利用了换元法，把函数解析式整理成一元二次函数．‎ ‎ ‎ ‎12．（4分）已知，则的值是 ．‎ ‎【分析】通过，利用两角和的正切函数，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除cosα，然后代入即可求出表达式的值．‎ ‎【解答】解：可得tanα=，因为===；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值与化简，注意表达式的分子、分母同除cosα，是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎13．（4分）已知f（x）=xex，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…fn+1（x）=fn ‎′（x）（n∈N*），则fn（x）= nx+xex （用x表示）．‎ ‎【分析】由已知中f（x）=xex，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…fn+1（x）=fn′（x）（n∈N*），分析出fn（x）解析式随n变化的规律，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xex，‎ f1（x）=f′（x）=ex+xex，‎ f2（x）=f1′（x）=2ex+xex，‎ f3（x）=f2′（x）=3ex+xex，‎ ‎…‎ 由此归纳可得：fn（x）=fn﹣1′（x）=nx+xex，‎ 故答案为：nx+xex．‎ ‎【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎ ‎ ‎14．（4分）给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则函数①f1（x）=3x﹣1；②f2（x）=﹣x2﹣x+1；③f3（x）=1﹣x；④f4（x）=，其中在D上封闭的是 ②③④ ．（填序号即可）‎ ‎【分析】利用函数的单调性求出值域，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：定义域D=（0，1），则函数①f1（x）=3x﹣1∈（0，2），不是封闭函数；‎ ‎②f2（x）=﹣x2﹣x+1=﹣+∈（0，1），属于封闭函数；‎ ‎③f3（x）=1﹣x∈（0，1），是封闭函数；‎ ‎④f4（x）=∈（0，1），是封闭函数．‎ 其中在D上封闭的是②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点评】本题考查了利用函数的单调性求函数值域、封闭函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（11分）设集合A={a，a2，b2﹣1}，B={0，|a|，b}，且A=B．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间，并证明．‎ ‎【分析】（1）根据集合的相等关系求出a，b的值即可；‎ ‎（2）求出f（x）的解析式，根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．‎ ‎【解答】解：（1）两集合相等，观察发现a不能为0，故只有b2﹣1=0，得b=﹣1或b=1，‎ 当b=﹣1时，故b与a对应，所以a=﹣1，如果b=1，则必有|a|=1，B不成立；‎ 故a=﹣1，b=﹣1．‎ ‎（2）由（1）得，因为x∈R，当x＞0时，，当x=1时取得最小值，‎ 函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；‎ 函数是奇函数，单调减区间为（﹣1，0），（0，1），‎ ‎①在[1，+∞）上是增函数，任取x1，x2∈[1，+∞），‎ 令x1＜x2， =，‎ ‎∵1≤x1＜x2，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，又x1x2＞1，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（x1）＜f（x2），‎ 故在[1，+∞）上是增函数．‎ 因为函数是奇函数，所以（﹣∞，﹣1]上也是增函数；‎ ‎②函数在x∈（0，1）时，任取x1，x2∈（0，1），‎ 令x1＜x2， =，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，又1＞x1x2＞0，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（x1）＞f（x2）‎ 故在（0，1）上是减函数，‎ 因为函数是奇函数，所以（﹣1，0）上也是减函数；‎ 综上：函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；单调减区间为（﹣1，0），（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查了集合的相等，考查函数的单调性问题，考查单调性的定义，是一道中档题．‎ ‎ ‎ ‎16．（11分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+．‎ ‎（1）当x∈[﹣，]时，求函数y=f（x）的值域；‎ ‎（2）已知ω＞0，函数g（x）=f（+），若函数g（x）在区间[﹣，]上是增函数，求ω的最大值．‎ ‎【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦的定义域和值域求得f（x）的值域．‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得ω的范围，可得ω的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）．‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎∴函数y=f（x）的值域为．‎ ‎（2），‎ 当，有，‎ ‎∵g（x）在上是增函数，且ω＞0，‎ ‎∴．‎ 即，化简得，‎ ‎∵ω＞0，∴，k∈Z，∴k=0，解得ω≤1，‎ 因此，ω的最大值为1，‎ ‎【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎17．（11分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且同时满足下列条件：‎ ‎（1）f（x）是奇函数；‎ ‎（2）f（x）在定义域上单调递减；‎ ‎（3）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．‎ 求a的取值范围．‎ ‎【分析】利用函数是奇函数，将不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0转化为f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），然后利用函数的单调性进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎（3）由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2），‎ ‎∵函数y=f（x）是奇函数，‎ ‎∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），‎ 即不等式等价为f（1﹣a）＜f（a2﹣1），‎ ‎∵y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，‎ ‎∴有，即，‎ ‎∴，解得0＜a＜1．‎ 故答案为：0＜a＜1．‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键，综合考查函数的性质．‎ ‎ ‎ ‎18．（11分）已知函数f（x）=[x]+|sin|，x∈[﹣1，1]．其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．‎ ‎（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的值域．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可试判断函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，即可求函数f（x）的值域 ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（﹣1）=﹣1+1=0，f（1）=1+1=0，‎ ‎∴f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），‎ 即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；‎ ‎（Ⅱ）f（x）=[x]+|sin|=，‎ 当x∈[﹣1，0）时，f（0）＜f（x）≤f（﹣1），‎ 即﹣1＜f（x）≤0，‎ 当x∈[0，1）时，f（0）≤f（x）＜f（1），‎ 即0≤＜f（x）＜1，‎ 当x=1时，f（x）=2，‎ 综上得函数f（x）的值域为（﹣1，1）∪{2}．‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数值域的求解，根据函数的定义求出函数的表达式是解决本题的关键．‎