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- 2021-06-24 发布
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2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章 立体几何
第02节 空间几何体的表面积与体积
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
空间几何体的表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
2013•新课标I.11,15, 19;II.15,18;
2014•新课标II.6,7,18;
2015•新课标I.6,11,18;II.6,10,19;
2016•新课标I.7,18;II.4,7,19;III.10,11,19;
2017•新课标I.16,18;II.6,15,18;III.9,19.
1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主,题型基本稳定为选择题或填空题,难度中等以下;也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.
2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合,考查数学应用.
3.备考重点:
(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键;
(2)掌握等积转换的方法.
【知识清单】
1. 几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积,就是各个侧面面积之和;表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
对点练习:
【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】已知是球球面上的四点, 是正三角形,三棱锥的体积为,且,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
2.几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
对点练习:
【2017课标II,文6】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【考点深度剖析】
几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式,一般都是容易题.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积,有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想.
【重点难点突破】
考点1 几何体的表面积
【1-1】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由题意可知,圆柱的侧面积为,圆锥的侧面积为,圆柱的底面面积为,故该几何体的表面积为,故选C.
【1-2】三棱锥中,平面,,是边长为的正三角形,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,是的中心,是外接球球心,则平面,,由已知,则,所以.故选C.
【1-3】【2016高考新课标3理数】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
(A) (B) (C)90 (D)81
【答案】B
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积,故选B.
【领悟技法】
以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
【触类旁通】
【变式1】【2018届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥中,底面是直角三角形,其斜边, 平面,且,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据已知,可将三棱锥补成一个长方体,如下图:
则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,由于,且是直角三角形, 平面, 长方体的对角线长为, 三棱锥的外接球的半径, 三棱锥的外接球的表面积为,故选A.
【变式2】某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【变式3】已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥外接球表面积等于( )
A.8π B.16π C.48π D.50π
【答案】
【解析】设矩形长为x,则宽为(x>0),
周长P=2≥2·2=8.
当且仅当x=,
即x=2时,周长取到最小值.
此时正方形ABCD沿AC折起,取AC的中点为O,则OA=OB=OC=OD,
三棱锥D-ABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球的表面积为4π·22=16π.
综合点评:
计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
考点2 几何体的体积
【2-1】【2017浙江,3】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是
A. B. C. D.
【答案】A
【2-2】【2017山东,文13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .
【答案】
【2-3】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 .
【答案】.
【领悟技法】
(1)已知几何体的三视图求其体积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
【触类旁通】
【变式1】【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.
【变式2】【2017届广东省广州高三一模】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑, 平面, , ,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥,如下图所示,
其外接球的直径为对角线, ,所以, ,球的表面积为: .选C.
综合点评:求体积的两种方法:①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.
考点3 几何体的展开、折叠、切、截问题
【3-1】【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A. B. C. D.
【答案】B
【3-2】【2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=60∘,AB⊥平面BCD,则球O的表面积为( )
A. 8π B. 823π C. 833π D. 16π3
【答案】D
【解析】如图,
∵BC=CD=1,∠BCD=60°∴底面△BCD为等边三角形,取CD中点为E,连接BE,∴△BCD的外心G在BE上,设为G,取BC中点F,连接GF,在Rt△BCE中,由CE=12,∠CBE=30o ,得BF=12BC=12,又在Rt△BFG中,得BG=12cos30o=33,过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O,则O为四面体ABCD的外接球的球心,即R=OB,
∵AB⊥平面BCD,∴OG⊥BG,在Rt△BGO中,求得OB=OG2+BG2=233,
∴球O的表面积为4π2332=16π3
故选D
【3-3】【2018届福建省数学基地校】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【3-4】【2018届河南省林州市第一中学高三8月调研】如图,已知矩形中, ,现沿折起,使得平面平面,连接,得到三棱锥,则其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】结合几何体的特征可得,外接球的球心为AC的中点,则外接球半径: ,
则外接球的体积: .
本题选择D选项.
【领悟技法】
解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.
有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变.
研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.
【触类旁通】
【变式1】【湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【变式2】正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.
【变式3】【2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____.
【答案】
【解析】由题意,MC为球O的直径,MC=2,∴球O的半径为,
∴球O的表面积为4π•3=12π,内切球的半径设为r,
得到 内切球的体积为 ,故结果为.
【变式4】【2017课标1,理16】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【易错试题常警惕】
易错典例:有一棱长为的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为__________.
错解:依题意,球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为,球的表面积为.
错因:这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子,球最大时与正方体的各棱相切,直径应为.
正解:正方体骨架是一个空架子,球最大时与正方体的各棱相切,直径应为.
所以气球表面积的最大值为.
温馨提醒:
1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行.
2.同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
3.在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
4.对于求解简单的组合体的表面积,要注意各几何体重叠部分的处理.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.
在解答几何体体积、表面积计算问题中,主要是通过图形的恰当转化,明确几何元素的数量关系,进行准确的计算.如:
【典例】已知中,,将沿折起,使 变到,使平面平面.
(1)试在线段上确定一点,使平面;
(2)试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积.
【答案】(1)点为的靠近点的三等分点(2)
试题解析:(1)
∵,
∴,在上取点,使,连接,再在上取点,使,连接,可知,,且,可知,且,所以四边形为平行四边形,平面,∴平面,故点为的靠近点的三等分点............................6分
(2)由(1)可知,,
设三棱锥的外接球半径为,可知,,∴..............................9分
三棱锥的表面积为.....................................12分