高中数学选修1-2：2_1_1同步练习 4页

高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)‎ A．a‎1a2a3…a9＝29‎ B．a1＋a2＋…＋a9＝29‎ C．a‎1a2…a9＝2×9‎ D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9‎ 解析：选D.由等差数列的性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝‎2a5.易知D成立．‎ ‎2.我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．‎ 由此可推得第n个正方形数应为(　　)‎ A．n(n－1)　　　　　　　 B．n(n＋1)‎ C．n2 D．(n＋1)2‎ 解析：选C.观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.‎ ‎3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ 解析：由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.‎ 答案：1∶8‎ ‎4.(2011·高考陕西卷)观察下列等式 ‎1＝1‎ ‎2＋3＋4＝9‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝25‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49‎ ‎…‎ 照此规律，第五个等式应为________．‎ 解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行数的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.‎ 答案：5＋6＋7＋…＋13＝81‎ ‎[A级　基础达标]‎ ‎1.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(　　)‎ A．归纳推理 B．类比推理 C．没有推理 D．以上说法都不对 解析：选B.推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．‎ ‎2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是(　　)‎ A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：选A.由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．‎ ‎3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)‎ A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：选B.推广到空间以后，对于A，还有可能异面；对于C，还有可能异面；对于D，还有可能异面．‎ ‎4.(2012·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系：＝，则图(2)所示的图形有体积关系：＝________．‎ 解析：由三棱锥的体积公式V＝Sh及相似比可知，‎ ＝ 答案： ‎5.某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，…，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(6)＝________．‎ 解析：f(3)＝1＋3＋6＝10，f(6)＝1＋3＋6＋10＋15＋21＝56.‎ 答案：10　56‎ ‎6.设n∈N*且sinx＋cosx＝－1，求sinnx＋cosnx的值．(先观察n＝1，2，3，4时的值，再归纳猜测sinnx＋cosnx的值)‎ 解：当n＝1时，sinx＋cosx＝－1；‎ 当n＝2时，有sin2x＋cos2x＝1；‎ 当n＝3时，有 sin3x＋cos3x＝(sinx＋cosx)(sin2x＋cos2x－sinxcosx)，‎ 而sinx＋cosx＝－1，‎ ‎∴1＋2sinxcosx＝1，sinxcosx＝0.‎ ‎∴sin3x＋cos3x＝－1.‎ 当n＝4时，有 sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1.‎ 由以上可以猜测，当n∈N*时，可能有sinnx＋cosnx＝(－1)n成立．‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎7.设f(n)>0(n∈N*)且f(2)＝4，对任意n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)恒成立，则猜想f(n)的一个表达式为(　　)‎ A．f(n)＝n2 B．f(n)＝2n－1‎ C．f(n)＝2n D．f(n)＝22n 解析：选C.对任意n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，符合指数型函数特征，结合f(2)＝4，可知f(n)＝2n.故选C.‎ (2012·苏州高二期中测试)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；‎ ‎②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；‎ ‎③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；‎ ‎④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．‎ A．①④ B．①②‎ C．①③ D．③④‎ 解析：选B.类比推理的原则是：类比前后保持类比规律的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．‎ 半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，①‎ ‎①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．‎ 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，‎ 请你写出类似于①的式子：________________，②‎ ‎②式可以用语言叙述为：‎ ‎________________________________________________________________________.‎ 解析：半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，则′＝4πR2.‎ 答案：′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数 已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a>0，b>0)写出具有的类似性质，并加以证明．‎ 解：类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．‎ 证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．‎ ‎∵点M(m，n)在已知双曲线上，‎ ‎∴n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.‎ 则kPM·kPN＝·＝ ‎＝·＝(定值)．‎ (创新题)有一个雪花曲线序列，如图所示．‎ 其产生规则是：将正三角形P0的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条边，便得到第1条雪花曲线P1；再将P1的每一边三等分，并重复上述作法，便得到第2条雪花曲线P2；…；把Pn－1的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条边，便得到第n条雪花曲线Pn(n＝1，2，3，4，…)．‎ ‎(1)设P0的周长为L0，即正三角形的周长，求Pn，即第n条雪花曲线的周长Ln；‎ ‎(2)设P0的面积为S0，即正三角形的面积，求Pn，即第n条雪花曲线所围成的面积Sn.‎ 解：(1)在雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如图所示．‎ 易得一雪花曲线的长为相邻的前一个长的.‎ 设第n条雪花曲线的长为Ln，‎ 则Ln＝Ln－1＝…＝L0(n∈N*)．‎ ‎(2)对P0进行操作，容易看出P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，得到P2的边数为3×42；从而不难看出Pn的边数为3×4n，已知P0的面积为S0，比较P1和P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P0有3条边，故S1＝S0＋3·＝S0＋.再比较P2与P1，可知P2在P1的每条边上增加了一个等边三角形，其面积为·，而P1有3×4条边，故S2＝S1＋3×4×＝S0＋＋，类似地有：S3＝S2＋3×42×＝S0＋＋＋，…，‎ Sn＝S0＋＋＋＋＋…＋＝S0＋S0＝S0.‎