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  • 2021-06-24 发布

高中数学选修1-2:2_1_1同步练习

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高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.已知{bn}为等比数列,b5=2,且b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为(  )‎ A.a‎1a2a3…a9=29‎ B.a1+a2+…+a9=29‎ C.a‎1a2…a9=2×9‎ D.a1+a2+…+a9=2×9‎ 解析:选D.由等差数列的性质,有a1+a9=a2+a8=…=‎2a5.易知D成立.‎ ‎2.我们把1,4,9,16,25,…这些数称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图).‎ 由此可推得第n个正方形数应为(  )‎ A.n(n-1)        B.n(n+1)‎ C.n2 D.(n+1)2‎ 解析:选C.观察前5个正方形数,正好是序号的平方,所以第n个正方形数应为n2.‎ ‎3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.‎ 解析:由平面和空间的知识,可知很多比值在平面中成平方关系,在空间中成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.‎ 答案:1∶8‎ ‎4.(2011·高考陕西卷)观察下列等式 ‎1=1‎ ‎2+3+4=9‎ ‎3+4+5+6+7=25‎ ‎4+5+6+7+8+9+10=49‎ ‎…‎ 照此规律,第五个等式应为________.‎ 解析:每行最左侧数分别为1、2、3、…,所以第n行最左侧的数应为n;每行数的个数分别为1、3、5、…,所以第n行数的个数应为2n-1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13,其和为5+6+7+…+13=81.‎ 答案:5+6+7+…+13=81‎ ‎[A级 基础达标]‎ ‎1.鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了(  )‎ A.归纳推理 B.类比推理 C.没有推理 D.以上说法都不对 解析:选B.推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理.‎ ‎2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子的颜色应该是(  )‎ A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析:选A.由图知:三白二黑周而复始相继排列,因36÷5=7余1,所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同,即为白色.‎ ‎3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是(  )‎ A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直 C.如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行 D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 解析:选B.推广到空间以后,对于A,还有可能异面;对于C,还有可能异面;对于D,还有可能异面.‎ ‎4.(2012·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系:=,则图(2)所示的图形有体积关系:=________.‎ 解析:由三棱锥的体积公式V=Sh及相似比可知,‎ = 答案: ‎5.某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,…,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)=________,f(6)=________.‎ 解析:f(3)=1+3+6=10,f(6)=1+3+6+10+15+21=56.‎ 答案:10 56‎ ‎6.设n∈N*且sinx+cosx=-1,求sinnx+cosnx的值.(先观察n=1,2,3,4时的值,再归纳猜测sinnx+cosnx的值)‎ 解:当n=1时,sinx+cosx=-1;‎ 当n=2时,有sin2x+cos2x=1;‎ 当n=3时,有 sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinxcosx),‎ 而sinx+cosx=-1,‎ ‎∴1+2sinxcosx=1,sinxcosx=0.‎ ‎∴sin3x+cos3x=-1.‎ 当n=4时,有 sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1.‎ 由以上可以猜测,当n∈N*时,可能有sinnx+cosnx=(-1)n成立.‎ ‎[B级 能力提升]‎ ‎7.设f(n)>0(n∈N*)且f(2)=4,对任意n1,n2∈N*,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)恒成立,则猜想f(n)的一个表达式为(  )‎ A.f(n)=n2 B.f(n)=2n-1‎ C.f(n)=2n D.f(n)=22n 解析:选C.对任意n1,n2∈N*,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),符合指数型函数特征,结合f(2)=4,可知f(n)=2n.故选C.‎ (2012·苏州高二期中测试)类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是(  )‎ ‎①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等;‎ ‎②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等;‎ ‎③各个面是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等;‎ ‎④各棱长相等,相邻的两个面所成的二面角相等.‎ A.①④ B.①②‎ C.①③ D.③④‎ 解析:选B.类比推理的原则是:类比前后保持类比规律的一致性,而③④违背了这一原则,只有①②符合.‎ 半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr,①‎ ‎①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.‎ 对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,‎ 请你写出类似于①的式子:________________,②‎ ‎②式可以用语言叙述为:‎ ‎________________________________________________________________________.‎ 解析:半径为R的球的体积V(R)=πR3,表面积S(R)=4πR2,则′=4πR2.‎ 答案:′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 已知椭圆具有以下性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1(a>0,b>0)写出具有的类似性质,并加以证明.‎ 解:类似的性质为:若M、N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.‎ 证明如下:设点M、P的坐标为(m,n)、(x,y),则N(-m,-n).‎ ‎∵点M(m,n)在已知双曲线上,‎ ‎∴n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.‎ 则kPM·kPN=·= ‎=·=(定值).‎ (创新题)有一个雪花曲线序列,如图所示.‎ 其产生规则是:将正三角形P0的每一边三等分,而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条边,便得到第1条雪花曲线P1;再将P1的每一边三等分,并重复上述作法,便得到第2条雪花曲线P2;…;把Pn-1的每一边三等分,而以其居中的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条边,便得到第n条雪花曲线Pn(n=1,2,3,4,…).‎ ‎(1)设P0的周长为L0,即正三角形的周长,求Pn,即第n条雪花曲线的周长Ln;‎ ‎(2)设P0的面积为S0,即正三角形的面积,求Pn,即第n条雪花曲线所围成的面积Sn.‎ 解:(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示.‎ 易得一雪花曲线的长为相邻的前一个长的.‎ 设第n条雪花曲线的长为Ln,‎ 则Ln=Ln-1=…=L0(n∈N*).‎ ‎(2)对P0进行操作,容易看出P1的边数为3×4;同样,对P1进行操作,得到P2的边数为3×42;从而不难看出Pn的边数为3×4n,已知P0的面积为S0,比较P1和P0,容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形,其面积为,而P0有3条边,故S1=S0+3·=S0+.再比较P2与P1,可知P2在P1的每条边上增加了一个等边三角形,其面积为·,而P1有3×4条边,故S2=S1+3×4×=S0++,类似地有:S3=S2+3×42×=S0+++,…,‎ Sn=S0+++++…+=S0+S0=S0.‎

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