数学理卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中考试（2016-11） 8页

河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期期中考试 ‎ 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设,则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.若以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则等于（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎3.已知双曲线的离心率是，则的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知有解，，则下列选项中是假命题的为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）‎ A．（1,1） B． C. D．（2,4）‎ ‎6.命题“,”的否定形式是（ ）‎ A．， B．， ‎ C. ， D．，‎ ‎7.过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦 的垂直平分线经过点，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” ‎ B．“”是“”的充分不必要条件 ‎ C.命题“在中，若，则”的逆命题为假命题 ‎ D．对于命题，使得，则，则.‎ ‎11.过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设分别是双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线某条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 ． ‎ ‎14.已知直线过双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎15.已知以为焦点的抛物线上的两点，满足，则弦的中点到抛物线的准线的距离为 ．‎ ‎16.动点分别到两定点连线的斜率之乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线的焦点坐标为，;‎ ‎（2）若，则;‎ ‎（3）当时，的内切圆圆心在直线上；‎ ‎（4）设，则的最小值为.‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.‎ ‎（1）求甲班的平均分；‎ ‎（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按笔试成绩分为5组，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求值及这100名考生的平均成绩；‎ ‎（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，求第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线交于两点，若，求实数的值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 为抛物线的焦点，过点的直线与交于两点，的准线与轴的交点为，动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知两点，，直线相交于点，且这两条直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为1，过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于，，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知，为坐标原点，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点且不垂直于坐标轴的直线交轨迹于不同的两点，，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.(1)(3)‎ 三、解答题 ‎17.(1)甲班的平均分为；‎ ‎（2）甲班90-100的学生有2个，设为;乙班90-100的学生有4个，设为，从甲班和乙班90-100的学生中抽取两人，共包含,，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，设事件“至少含有甲班一名同学”，则事件包含,，，，，，，，，9个事件，所以事件的概率为.‎ ‎18.（1）由，得，‎ 平均成绩为；‎ ‎（2）第3,4,5组考生分别有30,20,10人，按分层抽样，各组抽取人数为3,2,1，记第3组中3人为，第4组中2人为，第5组中1人为，则抽取3人的所有情形为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共20种，第4组恰有1人的情形有12种，所以.‎ ‎19.(1)由已知及抛物线定义可得抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到焦点的距离相等，故中点横坐标为,可得焦点的坐标为（1,0），‎ 所以抛物线的方程为：，……………4分 ‎（2）由可得，，‎ ‎，‎ 解得：………………12分.‎ ‎20.(1),可设代入得：，‎ 设，，，得，，‎ 由及得，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 消去得为所求点的轨迹方程，‎ ‎(2)由,可知四边形为平行四边形，则四边形的面积为 ‎，‎ 当时，取得最小值8,‎ 此时直线的方程为.‎ ‎21.(1)设点，,，‎ 整理得点所在的曲线的方程为：，，‎ ‎（2）由题意可得点,‎ 直线与直线的斜率互为相反数，‎ 设直线的方程为，‎ 与椭圆方程联立消去得 ‎，‎ 由于是方程的一个解，‎ 所以方程的另一个解为，同理，‎ 故直线的方程为代入椭圆方程，消去整理得，‎ 所以，‎ 原点到直线的距离，‎ ‎.‎ ‎22.设，由已知得，‎ 根据椭圆定义知点轨迹为以和为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为，4分，‎ ‎（2）设直线的斜率为（），，，‎ 则的方程为，将其代入，整理得，‎ 由于在椭圆内,当然对任意实数都有，‎ 根据韦达定理得，，‎ 那么，‎ ‎，………6分 ‎，‎ 线段中点的坐标为，‎ 那么线段的垂直平分线方程为，‎ 令得，‎ ‎，……8分 ‎，……10分 ‎，，则，‎ 于是…………12分.‎