2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期第三次月考数学（文）试题 Word版 11页

育才学校2018-2019学年度上学期第三次月考卷 高二实验班文科数学 第I卷 （60分）‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.命题“若(p)，则q”的逆否命题为(　　)‎ A． 若p，则(q) B． 若(q)，则(p)‎ C． 若(q)，则p D． 若q，则p ‎2.已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：∀x∈，ax－1≤0，则p是q的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎3.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2‎ C．a≥1 D． －2≤a≤1‎ ‎4.已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝3x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝x ‎7.已知点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是(　　)‎ A． B． C． D． 23‎ ‎8.已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　)‎ A． (－，) B． (－，) C． [－，] D． [－，]‎ ‎9.已知命题p：存在a0∈(－∞，0)，a－2a0－3>0，那么命题p的否定是(　　)‎ A． 存在a0∈(0，＋∞)，a－2a0－3≤0‎ B． 存在a0∈(－∞，0)，a－2a0－3≤0‎ C． 对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0‎ D． 对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0‎ ‎10.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为(　　)‎ A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C．x2－y2＝ D．x2－y2＝‎ ‎11.已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是(　　)‎ A．ab B．ab C．ac D．bc ‎12.设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝5，则|PF2|等于(　　)‎ A．1或5 B．1或9 C．1 D．9‎ 第II卷 （90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”及“非p”形式的复合命题中的真命题是________．‎ ‎14.命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为____________________________．‎ ‎15.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.‎ ‎16.点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.‎ 三、解答题(共6小题, ,共70分) ‎ ‎17.（10分）命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出下列条件的实数a的取值范围．‎ ‎(1)p，q中至少有一个是真命题；‎ ‎(2)“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题．‎ ‎18. （12分）已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；‎ ‎(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．‎ ‎19. （12分）如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°，‎ ‎(1)证明：直线AB必过一定点；‎ ‎(2)求△AOB面积的最小值．‎ ‎20. （12分）如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．‎ ‎(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；‎ ‎(2) 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．‎ ‎21. （12分）已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.‎ ‎(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；‎ ‎(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎22. （12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 答案解析 ‎1. C ‎2. A ‎3. A ‎4. B ‎5. C ‎【解析】设右焦点为F(c,0)，则M(c，)，N(c，－)．又OM⊥ON，‎ 故c2－＝0，即b2＝ac，从而c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，‎ 解得e＝(负值舍去)，故选C.‎ ‎6. A ‎【解析】　作AM，BN分别垂直准线于点M，N，‎ 则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.‎ 又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，‎ ‎∴∠NCB＝30°，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x，‎ 则2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1，‎ 且x1x2＝，‎ ‎∴＝，∴p＝，‎ 得抛物线方程为y2＝3x.‎ ‎7. B ‎【解析】　将点(1,2)代入y2＝2px中，可得p＝2，即得抛物线y2＝4x ‎，其焦点坐标为(1,0)．‎ 将点(1,2)代入y＝k(x＋1)中，可得k＝1，‎ 即得直线x－y＋1＝0，‎ ‎∴抛物线C的焦点到直线l的距离d＝＝.‎ ‎8. C ‎【解析】双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，‎ 右焦点F(4,0)，‎ 过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，‎ 由图形可知，符合条件的直线的斜率的范围是[－，]．‎ 故选C.‎ ‎9. D ‎【解析】　依题意得p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.‎ ‎10. B ‎【解析】由题意，设双曲线的方程为－＝1(a＞0)，‎ 则c＝a，渐近线方程为y＝x，∴＝，∴a2＝2.‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝2.‎ 故选B ‎11. D ‎【解析】设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，∴四边形FPF′Q为平行四边形．‎ S△PQF＝SFPF′Q＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.‎ 即(S△PQF)max＝bc.‎ ‎12. D ‎【解析】由条件知＝，∴a2＝4.∴||PF1|－|PF2||＝2a＝4，‎ ‎∵|PF1|＝5，解得|PF2|＝9或|PF2|＝1(舍)．‎ ‎13. 非p ‎【解析】因为命题p是假命题，命题q是假命题．所以命题“p且q”是假命题，命题“p或q”是假命题，命题“非p”是真命题．故只有“非p”是真命题．‎ ‎14. 存在实数x0，使得－2x0＋2≤0‎ ‎15. 　2‎ ‎【解析】　由题意知c2＝，则c＝2，‎ ‎∴P(1，)代入椭圆方程＋＝1，‎ 得＋＝1，得b2＝2.‎ ‎16. 3‎ ‎【解析】根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，‎ 联立 得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，‎ 令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，‎ 解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.‎ ‎17. p为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，解得a>或a<－1.①‎ q为真命题时，2a2－a>1，解得a>1或a<－.②‎ ‎(1)若p，q中至少有一个是真命题，则实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎(2)“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，有两种情况：p为真命题，q为假命题时，＜a≤1；p为假命题，q为真命题时，－1≤a＜－.‎ 故“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题时，a的取徝范围为(，1]∪[－1，－)．‎ ‎18. 解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，‎ 则方程组有两个不同的实数根，‎ 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，‎ ‎∴‎ 解得－|x2|时，‎ S△OAB＝S△OAD－S△OBD ‎＝ (|x1|－|x2|)‎ ‎＝|x1－x2|；‎ 当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，‎ S△OAB＝S△ODA＋S△OBD ‎＝ (|x1|＋|x2|)‎ ‎＝|x1－x2|.‎ ‎∴S△OAB＝|x1－x2|＝，‎ ‎∴(x1－x2)2＝(2)2，‎ 即2＋＝8，‎ 解得k＝0或k＝±.‎ 又∵－0.‎ 所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.‎ 于是|y1－y2|＝‎ ‎＝＝‎ ‎＝2.‎ S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)‎ ‎＝|OP|·|y1－y2|‎ ‎＝×2×2＝2.‎ 所以当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.‎ ‎20. (1) 由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为(，)．又＋＝1，所以点(，)在椭圆＋＝1上．即直线 DE与直线BP的交点在椭圆C上．‎ ‎(2) 直线BR的方程为y＝k1x＋2.‎ 解方程组得或 所以点R的坐标为(－，)．‎ 因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－.‎ 直线BS的方程为y＝－x＋2.‎ 解方程组得或 所以点S的坐标为(，)．‎ 所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O，O点坐标为(0,0)．‎ ‎21. 解　(1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，‎ 解得1