数学文卷·2018届河北省衡水中学高三上学期八模考试（2018 10页

衡水中学2017～2018学年度高三年级八模考试 数学试卷(文)‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则（ ）‎ A．1 　B．-1 　C． 　D．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ）‎ A． 　 B． 　　C． 　　D．‎ ‎4．设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． 　 D．‎ ‎6．等比数列中，，，函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数 与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的 三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，‎ 称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的，则输出的为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．如图所示，长方体中，，面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎10．已知三棱锥外接球的表面积为，，三棱锥的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎11．在中，三个内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知实数满足，则目标函数的最大值为 ．‎ ‎14．我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是 ．‎ ‎15．已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则 ．‎ ‎16．已知数列的通项公式为，前项和为，则 ．‎ 三、解答题(共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17．已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线上（如图所示），试判断点是否也落在曲线上，并说明理由．‎ ‎18．如图，底面为等腰梯形的四棱锥中，平面，为的中点，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎19．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题:‎ ‎（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；‎ ‎（Ⅱ ‎）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商购进6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．‎ ‎20．已知圆与直线相切．‎ ‎（1）若直线与圆交于两点，求；‎ ‎（2）设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21．已知函数（其中是自然对数的底数）‎ ‎（1）若，当时，试比较与2的大小；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一部分判分，作答时请涂清题号．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程．‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BCDAD 6-10:CACAA 11、12：CB 二、填空题 ‎13．5 14．11 15． 16．1011‎ 三、解答题 ‎17．（1）因为函数的最小正周期，所以函数的半周期为4，所以，即有坐标为，又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为．又因为为等腰直角三角形，所以．‎ ‎（2）点不落在曲线上，理由如下：由（1）知，，‎ 所以点的坐标分别为，．‎ 因为点在曲线上，所以，即，又，所以．又．所以点不落在曲线上．‎ ‎18．解析：（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，‎ 所以，又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）解：等腰梯形中，作于，则，在中，，则，即点到的距离，又平面，平面，所以，又，∴平面．‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ ‎19．（Ⅰ）一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率为．‎ ‎（Ⅱ）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，四辆非事故车设为，从六辆车中随机挑选两辆车共有，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有，，，，，，，，总共8种情况．‎ 所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为．‎ ‎②由统计数据可知，该销售量一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为元．‎ ‎20．解：（1）由题意知，圆心到直线的距离，‎ 所以圆．又圆心到直线的距离，所以．‎ ‎（2）易知，设，，则直线，‎ 由，得，‎ 所以，即，所以．‎ 由得，将代替上面的．‎ 同理可得，所以，‎ 从而直线．即，‎ 化简得．所以直线恒过一定点，该定点为．‎ ‎21．解析：（1）当时，，则，令，，‎ 由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，‎ 从而在为增函数，故．‎ ‎（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根．‎ 设，则，‎ 当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需．故实数的取值范围是．‎ 又由上可知函数的两个极值点满足，‎ 由得， ‎ ‎∴，‎ 由于，故，所以．‎ ‎22．试题解析：解析（1）直线的极坐标方程为 所以．即因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由，得 由，代入，得 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立 得 ‎，，设点分别对应参数恰为上述方程的根 则，，，由题设得，‎ 则有，得或因为，所以．‎ ‎23．（1）证明：因为 而，所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以或，解得，所以的取值范围是．‎