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- 2021-06-24 发布
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淮北师大附中2018-2019学年第二学期期末考试试卷
高 二 文 科 数 学
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中,只有一个正确) 1.设集合 M = {x x -1 < 1},N = {x x < 2},则 M I N =
A. (-1,1)
B. (-1, 2)
C. (0, 2)
D. (1, 2)
2. 已知i 是虚数单位,复数 z 满足 z - i =|1+ 2i | ,则 z 的共轭复数 z 在复平面上对应点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.命题“ "x Î R , x2 - 2x + 3 £ 0 ”的否定为( )
A. "x Î R , x2 - 2x + 3 ³ 0 B. $x Ï R , x2 - 2x + 3 > 0
C. $x Î R , x2 - 2x + 3 > 0 D. "x Ï R , x2 - 2x + 3 £ 0
4.设 x Î R ,则“ x < 1”是“ x | x | -2 < 0 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知等差数列{ an }满足 4a3 = 3a2 ,则{ an }中一定为零的项是
A. a6
B. a9 C.
a10
D. a12
6. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方模版",它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的,如图是一个七巧板拼成的平行四边 形 ABCD,E 为 AB 边的中点,若在四边形 ABCD 中任取一点,则此点落在阴影部分的概率为
1 3
A. B.
4 8
5 1
C. D.
16 2
7. 已知曲线 y = 1+ lnx 与过原点的直线相切,则直线的斜率为( )
A. e B. 1 C. -e
D. -1
6. 按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x = 3 ,则输出的 x 的值是( )
A.6 B.21 C.156 D.231
7. 函数 y=f(x)的导函数 y = f ¢(x) 的图像如右图所示, 则函数 y=f(x)的图像可能是
8. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F、G 分别为棱 A1D1、A1A、A1B1 的中点,给出下列四个命题:①EF 丄 B1C ②BC1∥平面 EFG;③A1C 丄平面 EFG;④异面直线 FG、B1C 所成角
p
的大小为
.其中正确命题的序号为
4
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
12.已知 f (x) 为 R 上的可导函数,且对"x Î R,均有f (x) > f ' (x) ,则有( )
A. e2016 f (-2016) < f (0), f (2016) < e2016 f (0)
B. e2016 f (-2016) > f (0), f (2016) > e2016 f (0)
C. e2016 f (-2016) < f (0), f (2016) > e2016 f (0)
D. e2016 f (-2016) > f (0), f (2016) < e2016 f (0)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
13.若向量 a = (
3,1),b = (1,-3
3) ,则 b 在 a 方向上的投影为 .
ì5x + 3 y £ 5
í
14.已知实数 x, y 满足约束条件ï y £ x + 1
î
ïx - 5 y £ 3
,且 x,y∈z 则 z = 3x + 5 y 的最大值是 .
15.设数列{ a }的前 n 项和为 S = 3× 2n (n Î N ) ,数列{ b }为等差数列,其前 n 项和为T ,
n n + n n
若b2 = a5 ,b10 = S3 ,则Tn 取最大值时 n = .
三、解答题 (共 70 分.解答时应写出文字说明、演算步骤.)
17.(12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且 2ccosB=2a+b. (1)求角 C 的大小;
3
(2)若△ABC 的面积等于
12
c,求 ab 的最小值.
18.(12 分) 某校有 1400 名考生参加市模拟考试,现采取分层抽样的方法从文、理科考生中分别抽取 20 份和 50 份数学试卷,进行成绩分析,
得到下面的成绩频数分布表:
分数分组
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150]
文科频数
2
4
8
3
3
理科频数
3
7
12
20
8
(1) 估计文科数学平均分及理科考生的及格人数(90 分为及格分数线);
(2) 在试卷分析中,发现概念性失分非常严重,统计结果如下:
文理科失分情况
文
理
概 念
15
30
其 它
5
20
问是否有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关? 参考值如下:
P
( K 2 ³ k )
0.5
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:
K 2 =
n (ad - bc )2
(a + b)(c + d )(a + c )(b + d ) .
19.(12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 a,ÐD = 600 ,点 H 为 DC 边中点,现以线段 AH 为折
痕将△DAH 折起使得点 D 到达点 P 的位置且平面 PHA 丄平面 ABCH,点 E、F 分别为 AB、AP 的中点.
(1) 求证:平面 PBC//平面 EFH;
3
(2) 若三棱锥 P-EFH 的体积等于
12
,求 a 的值.
20.(12 分) 已知A(0,l),B(0,-1),M( -1,0),动点P 为曲线C 上任意一点,
直线PA,RB 的斜率之积为
- 1 ,动直线l 与曲线 C 相交于不同两点 Q( x , y ),R( x , y ),
其中 y1 >0, y2 >0,且满足.
2
| MQ | = y1
| MR | y 2
1 1 2 2
(1) 求曲线 C 的方程;
(2) 若直线l 与 x 轴相交于一点 N,求 N 点坐标.
21.(12 分)已知函数 f (x) = ln x + a , a Î R .(1)讨论函数 f (x) 的单调性;
x
2a -1
(2)当 a > 0 时,证明 f (x) ³ .
a
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,并将所选题号涂在答题卡上。
22. (10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
ìx = 3cosa,
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为í
î y =
(a为参数),在以原点为极3 sina
2
点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为rsin(q- p = .
4 2
(1) 求曲线 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;
(2) 设点 P(-1,0),直线l 和曲线 C 交于 A ,B 两点,求| PA | + | PB | 的值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f (x) =| x + a | +2 | x - 1 |
(a>0),
(1) 当 a = l 时,求不等式 f (x) >4 的解集;
(2) 若不等式 f (x) > 4 - 2x 对任意的 x Î[-3,-1] 恒成立,求 a 的取值范围.
高 二 文 科 数 学 答 案一、选择题
1-5: CDCAA 6-10:BBDDC 11-12: DB
3
13.-
14.5 15.17 或 18 16.
3
3
18.(1)∵ 15´ 2 + 45´ 4 + 75´ 8 +105´ 3 +135´ 3 = 76.5
20
∴估计文科数学平均分为76.5 .
∴理科考生有560 人及格.
( )
70 ´ 15´ 20 - 5´ 30 2
(2) k 2 = = 1.4 < 2.706 ,
20 ´ 50 ´ 25´ 45
故没有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.
20.
21.(1)函数 f (x) 的定义域为(0, +¥) ,且 f ¢ (x) = 1 - a
= x - a .
x x2 x2
当 a £ 0 时, f ¢ (x) > 0 , f (x) 在(0, +¥) 上单调递增;
当 a > 0 时,若 x > a 时,则 f ¢ (x) > 0 ,函数 f (x) 在(a, +¥) 上单调递增; 若0 < x < a 时,则 f ¢ (x) < 0 ,函数 f (x) 在(0, a) 上单调递减.
(2)由(1)知,当 a > 0 时, f (x)min = f (a) = ln a +1
要证 f (x) ³ 2a -1 ,只需证ln a +1 ³ 2a -1 ,即只需证ln a + 1 -1 ³ 0
a a a
构造函数 g(a) = ln a + 1 -1 ,则 g¢ (a) = 1 - 1
= a -1 .
a a a2 a2
所以函数 g(a) 在(0,1) 上单调递减,在(1, +¥) 上单调递增.
所以 g(a)min = g(1) = 0 .
所以ln a + 1 -1 ³ 0 恒成立,所以 f (x) ³ 2a -1 .
a a