2018-2019学年福建省南安市侨光中学高二5月阶段考试数学（理）试题 word版 9页

福建省南安市侨光中学 2018-2019 学年高二年第 5 次阶段考 数学试卷（理） 一、选择题（每小题 5 分，共 70 分，在给出的 A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数 3+2i 2 3i  （ ） A. 12 13 i B. 12 13 i C. i D.i 2、现有党员 6 名，从中任选 2 名参加党员活动，则不同的选法的种数为（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 3、 8(1 2 ) x 展开式中第 5 项的二项式系数为（ ） A．56 B． 70 C．1120 D． 1120 4、设 )(xf  是函数 cos( ) x xf x e  的导函数，则 (0)f  的值为（ ） A．1 B．0 C． 1 D． 1 e 5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 A  {两次的点数均为奇数}， B  {两次的点数之 和小于 7 }，则  P B A （ ） A． 2 3 B． 5 9 C. 4 9 D． 1 3 6、刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去北京参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学 生了解考试情况。四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好。” 乙说：“我们四人中有人考得好。” 丙说：“乙和丁至少一人没考好。” 丁说：“我没考好。” 四名学生中恰有两人说对，则说对的两人是（ ） A．甲和丙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 7、某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出 m 与销售额t (单位：百 万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据： m 2 4 5 6 8 t 30 40 p 50 70 若根据表中数据，可求得回归方程 6.5 17.5t m  ，则 p 的值为（ ） A． 45 B．50 C．55 D． 60 8. 下列关于正态分布 2( , )( 0)   N 的命题： ①正态曲线关于 y 轴对称； ②当  一定时， 越大，正态曲线越“矮胖”， 越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量 (2,4)X N ，则 1( ) 22 D X ； ④当 一定时，正态曲线的位置由  确定，随着  的变化曲线沿 x 轴平移。 其中正确的是( ) A．②④ B．①④ C．③④ D．①② 9、若函数 2( ) ln 2f x x ax   在区间 1( ,2)2 内单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A . ( , 2]  B . ( 2, )  C . 1( 2, )8   D . 1[ , )8   10、设随机变量 X ，Y 满足： 3 1Y X  ，  2,X B p ，若   51 9P X   ，则  D Y  （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11、某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢 4 个红包，每人最多抢一个红包，且 红包全被抢光，4 个红包中有两个 2 元，两个 5 元(红包中金额相同视为相同的红包)，则 甲、乙两人同抢到红包的情况有( ) A .9 种 B . 18 种 C .24 种 D . 36 种 12、设 0 1p  ，随机变量 的分布列是  0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在 (0,1) 内增大时，（ ） A． ( )D  减小 B． ( )D  增大 C． ( )D  先减小后增大 D． ( )D  先增大后 减小 13、设函数 2( ) ln 2   af x x x bx ，若 1x 是函数 ( )f x 的极大值点，则实数 a 的取值范围 是（ ） A． ( ,1) B． ( ,1] C． ( ,0) D． ( ,0] 14、已知定义在 R 上的函数 ( )f x 无极值点，且对任意 x R 都有 3( ( ) ) 2 f f x x ，若函数 ( ) ( ) g x f x kx 在[ 1,2] 上与函数 ( )f x 具有相同的单调性，则实数 k 的取值范围为（ ） A． ( ,0] B． ( ,12] C．[0, ) D．[1, ) 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 15、6 位同学排成一排照相，其中甲、乙不相邻的排法有 种。 16、二项式 5 6 1x x x     展开式中的常数项是 17、 1 2 -1 (sin 1 )   x x dx 18、盒子里共有 7 个除了颜色外完全相同的球，其中有 4 个红球3个白球，从盒子中任取3个 球，则恰好取到 2 个红球1个白球的概率为 ． 19、从装有 1n 个球（其中 n 个白球，1 个黑球）的口袋中取出 m 个球（ 0 , ,  m n m n N ）， 共有 1 m nC 种取法. 在这 1 m nC 种取法中，可以分成两类：一类是取出的 m 个球全部为白球， 共有 0 1  m nC C 种取法；另一类是取出的 m 个球有 1m 个白球和 1 个黑球，共有 1 1 1  m nC C 种 取法. 显然 m n m n m n CCCCC 1 11 1 0 1    , 即 m n m n m n CCC 1 1    成立。试根据上述思想化简下列式子： 1 1 2 2      m m m k m k n k n k n k nC C C C C C C 20、已知函数 2( ) (3 )  xf x x e ，给出以下结论： ①曲线 ( )y f x 在点 (0,3) 处的切线方程为3 3 0  x y ； ②在曲线 ( )y f x 上任一点处的切线中有且只有两条与 x 轴平行； ③若方程 ( ) f x m 恰有一个实根，则 36  m e ； ④若方程 ( ) f x m 恰有两个不等实根，则 0 2 m e 或 36  m e 其中所有正确结论的序号为 三、解答题（共 50 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21、(本题满分 12 分) 已 知 2 * 0 1 2( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( )         n n nx a a x a x a x n N ， 设 1 2   n nS a a a 。 （1）求 0a 及 nS ； （2）试比较 nS 与 22 3 nn 的大小，并用数学归纳法证明。 22、(本题满分 12 分) 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对 50 名家用轿车驾驶员进行调查， 得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 30 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 /km h 的有 20 人，不超过100 /km h 的有 10 人；在 20 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 /km h 的有 5 人，不超过100 /km h 的有 15 人。 （1）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5% 的把握认为平均车速超过100 /km h 的人与性 别有关； （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记 这 3 辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 /km h 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相互独 立的，求 的数学期望。 参考公式：K2= 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d      （n=a+b+c+d） 附表： P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2. 072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 23、（本题满分 12 分） 现有 4 个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢． (1)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量 ξ的分布列与数学期望 E(ξ)． 24、（本题满分 14 分） 已知函数 21( ) 2   xf x xe x bx 在 (0, (0))f 处的切线与直线 2 1 0  x y 平行。 （1）求 ( )f x 的最小值； （2）当 0x 时， 21( ) 12     xf x ke x x k 恒成立，求整数 k 的最大值。 参考答案 一、DABCB,CDADA,BDAA 二、15、480 16、5 17、 2  18、 18 35 19、 m knC  20、①②④ 三、 21、解：⑴令 1x  ，则 0 3na  ， 令 2x  ，则 0 4 n n i i a   ， 所以 1 4 3 n n n i i a    ． ⑵要比较 nS 与 22 3nn  的大小，只要比较 4n 与 22n 的大小． 猜想： 24 2 ,n n n N   ． 下面用数学归纳法证明： ①当 1n  时， 4 2 ,结论成立． ②假设当 *( )n k k  N 时结论成立，即 24 2k k ， 则当 1n k  时， 1 2 2 2 24 4 4 4 2 2( 2 )k k k k k k     + + ， 因为 *k  N ，所以 2 22 2 1k k k   ，所以 2 2 2 2 22( 2 ) 2( 2 1) 2( 1)k k k k k k    + + 所以 1 24 2( 1)k k   ， 即 1n k + 时结论也成立． 由①②可知， 24 2nn N n 时， 所以 22 3 ,n nS n n N    22、解：（Ⅰ） 平均车速超过 hkm/100 人数 平均车速不超过 hkm/100 人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计 25 25 50 ， 所以有 %5.99 的把握认为平均车速超过 hkm/100 与性别有关. （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取 1 辆，驾驶 员为女性且车速不超过 hkm/100 的车辆的概率为 10 3 50 15  . 所以 的可能取值为 0,1,2,3，且      10 33B~ ， ，   9.010 33  npE  23、解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为1 3 ，去参加乙项目联欢的概 率为2 3 .设“这 4 个人中恰好有 i 人去参加甲项目联欢”为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)，则 P(Ai)＝ Ci 4(1 3 )i·(2 3 )4－i. (1)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率 P(A2)＝C2 4(1 3 )2(2 3 )2＝ 8 27 . (2)设“这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B， 则 B＝A3∪A4，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3 4(1 3 )3(2 3 )＋C4 4(1 3 )4＝1 9 . ∴这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为1 9 . (3)ξ的所有可能取值为 0,2,4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝ 8 27 ，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝40 81 ，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝17 81 ， ∴ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 E(ξ)＝0× 8 27 ＋2×40 81 ＋4×17 81 ＝148 81 . 24、解：（1） ( ) ( 1)    xf x x e x b ( ) f x 在 (0, (0))f 处的切线与直线 2 1 0  x y 平行 (0) 2 f 1 2  b 得 1b 21( ) 2    xf x xe x x ( ) ( 1)( 1)   xf x x e 令 ( ) 0 f x 得 1 x x ( , 1)  1 ( 1, )  ( )f x  0 + ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 当 1 x 时， ( )f x 的极小值即为最小值为 1 1( 1) 2    f e （2）当 0x 时， 21( ) 12     xf x ke x x k 恒成立等价于 ( 1) 1  x xk e xe 恒成立 由 0x 得， 1 0 xe 1 1    x x xek e 设 1( ) ( 0)1   x x xeh x xe ，则 min( )k h x 2 ( 2)( ) ( 0)( 1)     x x x e e xh x xe 令 ( ) 2 ( 0)   xF x e x x ，则 ( ) 1 0   xF x e 在 0x 时恒成立 ( ) 2   xF x e x 在上单调递增 又 2(1) 3 0, (2) 4 0     F e F e 所以存在唯一零点 0 (1,2)x 使 0( ) 0F x ，即 0 0 2 0  xe x 得 0 0 2 xe x 当 0(0, )x x 时， ( ) 0 h x ， ( )h x 单调递减 当 0( , ) x x 时， ( ) 0 h x ， ( )h x 单调递增 min( ) h x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 2) 1( ) 11 2 1         x x x e x xh x xe x 0 1 (2,3)   k x 又 k Z 所以的最大值为 2.