专题8-6+空间向量及其运算（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 12页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第八章 立体几何 第06节 空间向量及其运算 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1.【安徽蚌埠市】点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得，所以.故A正确.‎ ‎2. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．已知三点， ，则以为方向向量的直线与平面系是（ ）‎ A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】由题意， ， ，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A.‎ ‎4若平面α、β的法向量分别为＝(2,3,5)，＝(－3,1，－4)，则( )‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于，因此与不平行，又，所以与不垂直，从而平面α，β相交但不垂直．故选C．‎ ‎5.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，‎ ‎2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.‎ ‎6.设，向量且，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎7.已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎8. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若, ， ，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 如图，由向量的三角形法则可得，即，应选答案A.‎ ‎9.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B．‎ ‎10.【湖北卷】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）‎ A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.‎ ‎11. 已知三棱锥O-ABC，点M,N分别为AB,OC的中点，且OA‎=a,OB=b,OC=‎c，用a，b，c表示MN，则MN等于(　　) ‎ A. ‎1‎‎2‎‎(b+c-a)‎ B. ‎1‎‎2‎‎(a+b-c)‎)‎ C. ‎1‎‎2‎‎(a-b+c)‎ D. ‎‎1‎‎2‎‎(c-a-b)‎ ‎【答案】D ‎【解析】MN‎=ON-OM=‎1‎‎2‎OC-‎1‎‎2‎(OA+OB)=‎1‎‎2‎c-‎1‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b=‎1‎‎2‎(c-a-b)‎ ，故选D.‎ ‎12.设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜， ＞=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 选D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13.【浙江省杭州市七校】已知向量，，且，则= .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，，∴，‎ ‎∴（λ＞0），∴λ=3.‎ ‎14. 已知， ，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，解得.‎ ‎15．设为空间的一个基底， 是三个非零向量，则是的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎16.【2017届福建省泉州市模拟卷（三）】已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时， 与夹角大小为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，取中点，‎ 则 ‎ ‎，‎ 因为，所以在以为球心的球面上，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以与的夹角为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本题满分10分）若向量， ， ，求， 以及的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据向量加法的坐标运算得 ，根据模长运算公式可得结果；根据数量积运算公式可得，根据向量夹角公式可得的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）【福建省三明一中】如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）的长为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1） ……5分 ‎（2） ‎ ……8分 ，即的长为． ……10分 ‎19.（本小题满分12分）【江苏省盐城中学】已知向量 ‎（1）求；（2）求夹角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】本试题主要考查了向量的数量积公式的运用，以及夹角公式的运算。‎ 第一问中，因为，则 第二问中，因为 所以 利用夹角公式求解得到.‎ 因为，则 ‎（2）因为 所以 故夹角的余弦值为.‎ ‎20.（本小题满分12分）如图所示,在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M是AB上一点,N是A‎1‎C的中点.‎ ‎（1）求证:AD‎1‎⊥‎平面A‎1‎DC；‎ ‎（2） 若MN⊥‎平面A‎1‎DC,求证:M是AB的中点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由正方形的性质可得AD‎1‎⊥A‎1‎D，再由线面垂直的性质可得AD‎1‎⊥CD，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）以D为原点，DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴，建立坐标系，设M‎1,y‎0‎,0‎,MN=‎‎-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎-y‎0‎,‎‎1‎‎2‎，由（1）知AD‎1‎是平面AD‎1‎法向量，由MN‎//‎AD‎1‎解出y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎，即可得结论.‎ ‎21.（本小题满分12分【河北省承德市联校】已知正三棱柱ABC—A1B‎1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A‎1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ B B1‎ O O1‎ A C y C1‎ A1‎ x z ‎ (Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长.‎ ‎（Ⅱ)若M为BC1的中点，试用基底向量、、表示向量；‎ ‎ (Ⅲ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．‎ ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ) ；（Ⅱ) ； (Ⅲ) .‎ ‎【解析】 (Ⅰ)设正三棱柱的侧棱长为，‎ 由题意得 ,‎ 所以 4分 ‎（Ⅱ) 7分 ‎(Ⅲ),‎ 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为 12分 ‎22.（本小题满分12分）【2018届湖南省长沙市长郡中学高三实验班选拔】如图，在直三棱柱中， ， 为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点， 为轴， 为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面，故以为原点， 为轴， 为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），‎ 设，则，‎ ‎∴，· 设平面的一个法向量， 则，即，则，令可得， ，故，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 解得或，即或．‎ ‎ ‎