数学卷·2018届湖南省岳阳市岳阳县一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（　　）‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP ‎2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（　　）‎ A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1‎ ‎3．设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎4．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（　　）‎ A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0‎ ‎5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎6．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（　　）‎ A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x ‎7．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（　　）‎ A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎8．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是减函数的是（　　）‎ A．y=2x﹣2﹣x B．y=cosx C．y=log2|x| D．y=x+x﹣1‎ ‎9．设2a=5b=m，且，则m=（　　）‎ A． B．10 C．20 D．100‎ ‎10．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），其图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2且|x1﹣x2|=π则（　　）‎ A．ω=2，φ= B．ω=，φ= C．ω=，φ= D．ω=2，φ=‎ ‎12．设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（　　）‎ A．b＜0且c＞0 B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b＞0且c=0‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　　．‎ ‎14．若函数f（x）=+log2，则f（x）的定义域为　　．‎ ‎15．已知=2，则tanα的值为　　．‎ ‎16．设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知cos（π+θ）=，求的值．‎ ‎18．已知ρ：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），若q是p充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：‎ f（t）=．（设该生物出生时的时刻t=0）‎ ‎（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？‎ ‎（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．‎ ‎20．求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．‎ ‎21．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（1）若f（x）=，求x的值；‎ ‎（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．‎ ‎（1）求证：f（x）是周期函数；‎ ‎（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；‎ ‎（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（　　）‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．‎ ‎【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，‎ 可知Q⊆P，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（　　）‎ A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，‎ 命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞1‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎【考点】幂函数图象及其与指数的关系．‎ ‎【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．‎ ‎【解答】解：∵在x＞0时是增函数 ‎∴a＞c 又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b 故答案选A ‎　‎ ‎4．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（　　）‎ A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0‎ ‎∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），‎ ‎∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【考点】奇函数．‎ ‎【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．‎ ‎【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，‎ 所以f（0）=20+2×0+b=0，‎ 解得b=﹣1，‎ 所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，‎ 又因为f（x）为定义在R上的奇函数，‎ 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（　　）‎ A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．‎ ‎【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，‎ 所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（　　）‎ A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知3x＞0恒成立，则真数3x+1＞1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．‎ ‎【解答】解：根据对数函数的定义可知，真数3x+1＞0恒成立，解得x∈R．‎ 因此，该函数的定义域为R，‎ 原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数．‎ 由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的．‎ 根据指数函数的性质可知，3x＞0，所以，3x+1＞1，‎ 所以f（x）=log2（3x+1）＞log21=0，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是减函数的是（　　）‎ A．y=2x﹣2﹣x B．y=cosx C．y=log2|x| D．y=x+x﹣1‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项，是否满足题目对单调性、奇偶性的要求，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A、y=2x﹣2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），为奇函数，不符合题意；‎ 对于B、y=cosx，定义域R，且有f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x）为偶函数，且其在（0，π）上为减函数，符合题意；‎ 对于C、y=log2|x|，有y=log2|x|=，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；‎ 对于D、y=x+x﹣1=x+，在（0，1）为减函数，（1，+∞）为增函数，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．设2a=5b=m，且，则m=（　　）‎ A． B．10 C．20 D．100‎ ‎【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．‎ ‎【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．‎ 故选A ‎　‎ ‎10．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．‎ ‎【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，‎ ‎∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|‎ ‎=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，‎ 其周期为T=，最大值为，最小值为0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），其图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2且|x1﹣x2|=π则（　　）‎ A．ω=2，φ= B．ω=，φ= C．ω=，φ= D．ω=2，φ=‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】根据函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数得φ=；‎ 根据函数图象与直线y=2相邻两个交点的横坐标|x1﹣x2|=π，求出周期和ω的值．‎ ‎【解答】解：函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），‎ ‎∴φ=；‎ 又函数图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且|x1﹣x2|=π，‎ ‎∴函数y的周期为T=π，‎ 即=π，解得ω=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（　　）‎ A．b＜0且c＞0 B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b＞0且c=0‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】画出函数的图象，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，即要求对应于f（x）为某个常数有6个不同实数解且必有一个根为0，根据题意利用作出f（x）的简图可知，当f（x）等于何值时，它有6个根．从而得出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解 ‎【解答】解：由f（x）图象知要使方程f2（x）+bf（x）+c=0有7解，‎ 应有f（x）=0有3解，‎ f（x）≠0有4解．‎ 则c=0，b＜0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　1　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】因为A∩B={3}，所以3∈{a+2，a2+4}即a+2=3或a2+4=3，解出a即可．‎ ‎【解答】解：因为A∩B={3}，‎ 根据交集的运算推理得：3是集合A和集合B的公共元素，‎ 而集合A中有3，所以得到a+2=3或a2+4=3（无解，舍去），‎ 解得a=1．‎ 故答案为1‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=+log2，则f（x）的定义域为　{x|1}　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可 ‎【解答】解：函数f（x）=+log2有意义，‎ 其定义域满足：‎ 解得：1．‎ ‎∴函数f（x）的定义域为{x|1}．‎ 故答案为{x|1}．‎ ‎　‎ ‎15．已知=2，则tanα的值为　1　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】利用三角函数的基本关系式，将等式的左边分子分母分别除以cosα，然后解方程即可．‎ ‎【解答】解：由已知，将左边分子分母分别除以cosα，得，解得tanα=1；‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是　a≤　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：‎ ‎ 由f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2．‎ 由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，‎ 故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知cos（π+θ）=，求的值．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．‎ ‎【解答】解：∵cos（π+θ）==﹣cosθ，即cosθ=﹣，‎ ‎∴====．‎ ‎　‎ ‎18．已知ρ：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），若q是p充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先分别求得p，q所对应的集合，再根据q是p的充分不必要条件，可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由：|1﹣|≤2，得﹣2≤x≤10，‎ ‎∵m＞0，∴1+m＞1﹣m ‎∴由[x﹣（1+m）][x﹣（1﹣m）]≤0，‎ 得：1﹣m≤x≤1+m 因为q是p的充分不必要条件，‎ 所以，∴0＜m≤3，‎ 故实数m的取值范围是（0，3]．‎ ‎　‎ ‎19．某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：‎ f（t）=．（设该生物出生时的时刻t=0）‎ ‎（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？‎ ‎（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．‎ ‎【考点】指数型复合函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）根据函数表达式直接解不等式即可，‎ ‎（2）计算f（2）和f（3）的值，然后比较大小即可．‎ ‎【解答】解：（1）设f（t）=≥8，‎ 即，‎ 解得t≥6，‎ 即该生物6年后身长可超过8米．‎ ‎（2）由于f（3）﹣f（2）=，‎ f（4）﹣f（3）=，‎ ‎∴第3年长了米，第4年长了米，‎ ‎∴，‎ ‎∴第4年长得快．‎ ‎　‎ ‎20．求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】经观察，（ +4x）+（﹣4x）=，从而利用诱导公式及三角函数中的恒等变换可将原式化为y=2sin（4x+），从而可求其周期、单调区间及最大、最小值．‎ ‎【解答】解：∵（+4x）+（﹣4x）=，‎ ‎∴cos（4x﹣）=cos（﹣4x）=sin（+4x），‎ ‎∴原式就是y=2sin（4x+），这个函数的最小正周期为，即T=．‎ 当﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为[﹣+， +]（k∈Z）．‎ 当+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为[+， +]（k∈Z）．‎ 当x=+（k∈Z）时，ymax=2；‎ 当x=﹣+（k∈Z）时，ymin=﹣2．‎ ‎　‎ ‎21．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（1）若f（x）=，求x的值；‎ ‎（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】（1）化简f（x）去掉绝对值，直接进行带值计算即可．‎ ‎（2）求出f（2t），f（t）带入，构造指数函数，利用指数函数的图象及性质对t∈[1，2]恒成立求解．‎ ‎【解答】解：由题意：f（x）=2x﹣定义在R上的函数，‎ ‎∴‎ ‎（1）当x≤0时，f（x）=0，无解 当x＞0时，f（x）=2x﹣，‎ 由f（x）=，即：2x﹣=，‎ 化简：2•22x﹣3•2x﹣2=0‎ 因式分解：（2x﹣2）（2•2x+2）=0‎ 解得：解得2x=2或2x=﹣，‎ ‎∵2x＞0，‎ 故：x=1．‎ ‎（2）当t∈[1，2]时，‎ f（2t）=，f（t）=‎ 那么：（）≥0‎ 整理得：m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）‎ ‎∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）恒成立即可．‎ ‎∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．‎ 要使m≥﹣（22t+1）恒成立，只需m≥﹣5‎ 故：m的取值范围是[﹣5，+∞）．‎ ‎　‎ ‎22．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．‎ ‎（1）求证：f（x）是周期函数；‎ ‎（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；‎ ‎（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f令x=x+2代入f（x+2）=﹣f（x）即可得出f（x+4）=f（x）；‎ ‎（2）根据奇偶性与周期性即可得出f（x）=f（x﹣4）=﹣f（4﹣x）；‎ ‎（3）根据周期可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f+f（1）．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2），‎ ‎∴f（x+4）=f（x），‎ ‎∴f（x）是周期为4的函数．‎ ‎（2）当x∈[2，4]，4﹣x∈[0，2]，∴f（4﹣x）=2（4﹣x）﹣（4﹣x）2=﹣x2+6x﹣8，‎ ‎∴f（x）=f（x﹣4）=﹣f（4﹣x）=x2﹣6x+8（x∈[2，4]）．‎ ‎（3）∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．‎ ‎∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，‎ ‎∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f+f（1）+f（2）+f（3）]+f=f（0）+f（1）=1．‎ ‎　‎