2019年高考数学终极仿真预测试卷（含解析） 15页

专题21 高考数学终极仿真预测试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解析】解：由，得，‎ 复数在复平面内表示的点的坐标为，所在的象限为第一象限．‎ ‎【答案】． 2．已知，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，得，，‎ 由，得．‎ ‎．‎ ‎【答案】． ‎ 15‎ ‎3．已知，则展开式中项的系数为　　‎ A．10 B． C．80 D．‎ ‎【解析】解：已知，则展开式的通项公式为 ‎，‎ 令，求得，故展开式中项的系数为，‎ ‎【答案】． 4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、两点，则斜率的范围为　　‎ A．， B．，， ‎ C． D．，，‎ ‎【解析】解：双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、两点，双曲线的渐近线方程为：，‎ 所以斜率满足，即，，．‎ ‎【答案】． 5．已知向量，满足，且，则在方向上的投影为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解析】解：向量，满足，且，‎ 可得，‎ 可得，‎ 则在方向上的投影为：．‎ ‎【答案】． 6．已知，，部分图象如图，则的一个对称中心是　　‎ 15‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：函数的最大值为，最小值为，‎ 得，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，即，即，得，‎ 则，‎ 由五点对应法得得，‎ 得，‎ 由，得，，‎ 即函数的对称中心为，，‎ 当时，对称中心为，，‎ ‎【答案】． 7．已知等比数列的公比为，，，且，则其前4项的和为　　‎ A．5 B．10 C． D．‎ ‎【解析】解：等比数列的公比为，，，‎ ‎，‎ 解得（舍去），或，‎ 15‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【答案】． 8．已知是边长为2的等边三角形，为的中点，且，则　　‎ A． B．1 C． D．3‎ ‎【解析】‎ 解：由，可得点为线段的三等分点且靠近点，过点作交于点，‎ 则，‎ ‎【答案】． 9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，‎ 每个县区至少派一位专家，‎ 基本事件总数，‎ 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，‎ 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．‎ ‎【答案】． 10．已知，满足约束条件，则的最大值是　　‎ 15‎ A．0 B．2 C．5 D．6‎ ‎【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；‎ 由解得，‎ 此时直线在轴上的截距最大，‎ 所以目标函数的最大值为 ‎．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 11．将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则在下列那个区间上单调递减　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：将函数的图象向左平移个单位得到 的图象，‎ 在区间，上，则，，单调递减，故满足条件，‎ 在区间，上，则，，单调递增，故不满足条件；‎ 15‎ 在区间，上，则，，没有单调性，故不满足条件；‎ 在区间，上，则，，单调递减，故满足条件；‎ 在区间，上，则，，没有单调性，故不满足条件，‎ ‎【答案】． 12．已知为定义在上的偶函数，，且当，时，单调递增，则不等式的解集为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：根据题意，，‎ 则，‎ 若为偶函数，则，即可得函数为偶函数，‎ 又由当，时，单调递增，‎ 则，解可得，‎ 即不等式的解集为，；‎ ‎【答案】． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是　　．（结果用分数表示）‎ ‎【解析】解：学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，‎ 用表示抽取的志愿者中女生的人数，‎ 则的可能取值为0，1，2，‎ ‎，‎ 15‎ ‎，‎ ‎，‎ 随机变量的数学期望：‎ ‎．‎ 故答案为：． 14．若，则的值是　 　．‎ ‎【解析】解：已知：，‎ 根据三角函数的诱导公式，‎ ‎，‎ 所以： ‎ 则：，‎ 则：．‎ 故答案为： 15．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为　　．‎ ‎【解析】解：如下图所示：‎ 15‎ 圆的圆心与抛物线的焦点重合，‎ 若四边形的面积最小，‎ 则最小，‎ 即距离准线最近，‎ 故满足条件时，与原点重合，‎ 此时，，‎ 此时四边形面积，‎ 故答案为：． 16．设数列是递减的等比数列，且满足，，则的最大值为　64　．‎ ‎【解析】解：设递减的等比数列的公比为，，，‎ ‎，，‎ 解得，．‎ ‎，，，，．时，．‎ ‎．‎ 的最大值为64．‎ 故答案为：64．‎ 15‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在中，角，，的对边分别为，，．已知．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）证明：，‎ 由正弦定理可得：，可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，即．‎ ‎（Ⅱ），，又，所以，，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎． 18．梯形中，，，，，过点作，交于（如图．现沿将折起，使得，得四棱锥（如图．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求二面角的余弦值．‎ 15‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：在中，，，，‎ 又，，‎ 又，四边形为平行四边形，‎ ‎，平行四边形为菱形，则，‎ 又，，平面，，‎ 平面，‎ 又平面，平面平面；‎ ‎（Ⅱ）解：平面，平面，，‎ 又，，平面，，平面，‎ 设，，分别为，的中点，则，‎ 平面．‎ 由（Ⅰ）得，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 不妨设，可知，．‎ 则，0，，，，，，0，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，得．‎ 平面的一个法向量．‎ 设二面角的平面角为，则．‎ 即二面角的余弦值为．‎ 15‎ ‎ 19．已知动直线与轴交于点，过点作直线，交轴于点，点满足，的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，点，过作斜率为的直线交于，两点，延长，分别交于，两点，记直线的斜率为，求证：为定值．‎ ‎【解析】解：动直线与轴交于点，‎ 直线，直线的方程为：，交轴于点，．‎ 设，点满足，‎ ‎，，．‎ ‎，．‎ 消去可得：．即为的轨迹方程．‎ 证明：设，，，的坐标依次为，，2，3，．‎ 直线的方程为：，联立，化为：，‎ ‎，，‎ 设直线的方程为：，联立，化为：，‎ ‎，．同理可得：．‎ 15‎ ‎，．‎ 为定值．‎ ‎ 20．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能或者，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．‎ ‎（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；‎ ‎（Ⅱ）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．‎ 若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；‎ 若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：‎ ‎，‎ 在不开箱检验的情况下，可以购买．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 15‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ 0.64‎ ‎ 0.32‎ ‎ 0.04‎ ‎．‎ 设事件：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，‎ 则（A），‎ 一箱产品中，设正品的价格的期望值为，则，9000，‎ 事件：抽取的废品率为的一箱，则，‎ 事件：抽取的废品率为的一箱，则，‎ ‎，‎ 已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买． 21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求过点与曲线相切的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）当时，，，‎ 设切点为，，则，得．‎ 所求切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）依题意，得，‎ 即，也就是恒成立，‎ 令，则在上单调递增，‎ 则等价于恒成立．‎ 即恒成立，即恒成立．‎ 15‎ 令，，‎ 由，得，由，得，‎ 在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故实数的取值范围为．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，直线，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程为：，即，化为极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，‎ 将代入方程，得，，‎ ‎． 23．已知不等式的解集是．‎ ‎（Ⅰ）求集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，对任意，求证：．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）当时，不等式变形为，解得；‎ 当时，不等式变形为，解得；‎ 当时，不等式变形为，解得；‎ 综上得．‎ 15‎ ‎（Ⅱ），，，，‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，即．‎ 15‎