2017-2018学年贵州省铜仁市西片区高中教育联盟高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 19页

绝密★启用前 贵州省铜仁市西片区高中教育联盟2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若（为虚数单位），则复数（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得： ，故选B.‎ ‎2．设集合， ， ，则中的元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可.‎ 详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：‎ ‎　‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ 观察可得：，‎ 据此可知中的元素个数为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(　　)‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C. ‎ ‎4．为第三象限角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．‎ 详解：由，得 ‎，‎ 由同角三角函数基本关系式，得 ‎，‎ 解得 又因为为第三象限角，‎ 所以，‎ 则．‎ 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；‎ ‎2.利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．‎ ‎5．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）‎ A. 540 B. 300 C. 180 D. 150‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．‎ 详解：将人分成满足题意的组有与两种，‎ 分成时，有种分法；‎ 分成时，有种分法,‎ 由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.‎ ‎7．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，渐近线方程为，即，故选A.‎ ‎8．下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）‎ A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r越接近1，说明两变量间线性关系越密切。‎ B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差。‎ C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点。‎ D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位。‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．‎ 详解：A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；‎ B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误 对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与有关系”可信程度越大; 故B错误；‎ C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；‎ D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.‎ ‎9．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.‎ 详解：由题得 所以 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望 ‎10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．‎ 详解：因为，所以，‎ 过的中点作平面的垂下，则球心在上，‎ 设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，‎ 因为，所以，‎ 由勾股定理得，解得，‎ 所以球的表面积为，故选D．‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．‎ ‎11．给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④.‎ 这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎【答案】A ‎【解析】可利用排除法：‎ 对于①，令y＝f(x)，∵f(x)的定义域关于原点对称，‎ f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝x·sin x＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数，‎ 故①中的函数对应第1个图象，排除C和D；‎ 对于③，当x>0时，y≥0，且当x>0时等号可以取到，‎ 故③中的函数对应第4个图象，排除B.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎12．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由函数，‎ 可得，‎ 所以函数为奇函数，‎ 又，因为，所以，‎ 所以函数为单调递增函数，‎ 因为，即，‎ 所以，解得，故选D．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．二项式的展开式中的系数为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数，进而得到的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．‎ 详解：二项式的展开式的通项为，‎ 令，可得的系数为，‎ 由题意得，‎ 解得．‎ ‎∴．‎ 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．‎ ‎14．已知向量a与b的夹角为，=2，，则_________．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】分析：根据平面向量的数量积与模的计算公式，即可求解答案．‎ 详解：由题意，向量的夹角为，‎ 所以，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了平面向量数量积与模的计算问题，‎ 此类问题的求解，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．‎ ‎15．已知实数x,y满足不等式组，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.‎ 详解：‎ 作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎16．2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:‎ 爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.‎ 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.‎ 详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；‎ 如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；‎ 如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；‎ 如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；‎ 如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；‎ 故答案为：丙 点睛：本题考查推理的应用，解题时要认真审题，注意统筹考虑、全面分析，属于基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】(1) an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.‎ ‎(2) Tn＝.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设数列{an}的首项及公差d，将用及d来表示，列出方程组，可解出及d，再由通项公式及前n项公式求出及；（2）将代入所给表达式可求出的表达式，用裂项求和可求出．‎ 试题解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，‎ 所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，‎ 解得a1＝3，d＝2．‎ 由于an＝a1＋（n－1）d，Sn＝，‎ 所以an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）．‎ ‎（2）因为an＝2n＋1，所以－1＝4n（n＋1），‎ 因此bn＝＝．‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn 所以数列{bn}的前n项和 ．‎ 考点：1．数列的求和；2．等差数列的通项公式 视频 ‎18．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：‎ 球队胜 球队负 总计 甲参加 ‎22‎ b ‎30‎ 甲未参加 c ‎12‎ d 总计 ‎30‎ e n ‎（1）求b,c,d,e,n的值，据此能否有97.7%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；‎ ‎（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4,0.2,0.6,0.2.则：‎ 当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；‎ ‚当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】(1) 有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表中的数据，求得 的值，进而求得的值，利用附表即可作出结论；‎ ‎（2）设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，利用互斥事件和独立事件的概率公式，及条件概率的公式，即可求解相应的概率．‎ 详解：（1）,‎ 有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关. ‎ ‎（2）设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，则 ‎ ‎.‎ ‚.‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验和条件概率的计算问题，关键在于从题设中分析出相应的数据，以及相应事件的概率，结合条件概率的计算公式进行计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．‎ ‎19．如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．‎ ‎（l）求证：CD平面PAB；‎ ‎（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）推导出是的斜边上的中线，从而是的中点，由此能证明平面；‎ ‎（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．‎ 详解：（1）因为，所以，又，，‎ 所以，又因为，‎ 所以是的斜边上的中线，‎ 所以是的中点，又因为是的中点．所以是的中位线，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：‎ 因为，且，分别是，的中点，‎ 所以，，‎ 所以，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，所以，令，则，‎ 设直线与平面所成角的大小为，则．‎ 故直线与平面所成角的正切值为．‎ 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20．如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．‎ ‎（l）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线的斜率为且直线L与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 ，，列出关于 、 的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，‎ 又点也在直线上，进而得结果.‎ 详解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，‎ 所以，解得 又椭圆经过点，所以，‎ 所以 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，‎ 所以直线的斜率为，‎ 所以可设直线的方程为 据得 设点，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，所以 所以点在直线上，‎ 又点也在直线上，‎ 所以三点共线.‎ 点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、‎ 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，求得，得到方程，即可求解实数的值；‎ ‎（2）由题意，对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立，问题等价于函数在上为增函数，利用导数即可额求解．‎ 详解：（1）由，得.　　‎ 由题意，，所以.　‎ ‎（2）.‎ 因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立. ‎ 问题等价于函数，‎ 即在上为增函数， ‎ 所以在上恒成立.即在上恒成立.‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）判断△ABC的形状；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) △ABC为的直角三角形．‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角的值，进而可判断三角形的形状；‎ ‎（2）由辅助角公式对已知函数先化简，然后代入可求得，结合（1）中的角求得角的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解．‎ 详解：（Ⅰ）因为，‎ 由正弦定理可得．‎ 即，所以．‎ 因为在△ABC中，，所以又，‎ 所以，．所以△ABC为的直角三角形． ‎ ‎（Ⅱ）因为 =．‎ 所以．因为△ABC是的直角三角形，‎ 所以，且，所以当时，有最小值是．‎ 所以的取值范围是．‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎