高中数学选修1-2公开课课件__2_2_2反证法课件 38页

2.2.2 反证法 反证法 实验中学 祝夫蒙 2.2 直接证明与 间接证明 复习 1. 直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2. 这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3 、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用 分析法 寻求思路，再由 综合法 书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤． 本节难点：应用反证法解决问题． 教 学 目 标 1 ．知识与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法 —— 反证法；了解反证法的思考过程与特点． 2 ．过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力． 3 ．情感、态度与价值观 培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力 ． 前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。 将 9 个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有 5 个球是同色的。你能证明这个结论吗？ 假设 有某种染法使红色球和 白色球的个数都不超过 4 ， 则 球的总数不应超过 8 ， 这与球的总数是 9 相 矛盾 假设不正确， 因此，无论怎样染 至少有 5 个球是同色的 思考 ： 探究 ： 思考 1 ：掀起你的盖头来 —— 认识反证法 思考 2 ： A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？ 分析 : 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 . 那么 A 假且 B 假 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 这与 B 假矛盾 . 那么 假设 C 没有撒谎不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . 1 ．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过 ，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法． 反证法是 的一种基本方法． 2 ．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与定义、公理、 、 矛盾等． 正确的推理 矛盾 错误 成立 间接证明 已知条件 假设 定理 事实 反证法的思维方法： 正难则反 1 ．反证法证明数学命题的四个步骤： 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真． 2. 常见的主要矛盾有： (1) 与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾； (2) 与假设矛盾； (3) 与公认的简单事实矛盾． 探究 2 ：深度挖掘 —— 了解反证法 3 ．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有 “ 至少有一个 ” 或 “ 至多有一个 ” 等字样的一些数学问题． 4 ．用反证法证明不等式，常用的否定形式有： “ ≥ ” 的反面为 “ < ” ； “ ≤ ” 的反面为 “ > ” ； “ > ” 的反面为 “ ≤ ” ； “ < ” 的反面为 “ ≥ ” ； “ ≠ ” 的反面为 “ ＝ ” ； “ ＝ ” 的反面为 “ ≠ ” 或 “ > 及 < ” ． 5 ．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即 “ 否定之否定等于肯定 ” ，其中第一个否定是指 “ 否定结论 ( 假设 ) ” ；第二个否定是指 “ 逻辑推理结果否定了假设 ” ． 反证法属于 “ 间接证明方法 ” ，书写格式易错之处是 “ 假设 ” 错写成 “ 设 ” ． 常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 如下： 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 至少有 n 个 至多有 n － 1 个 p ∨ q ( ¬ p ) ∧ ( ¬ q ) 至多有 n 个 至少有 n ＋ 1 个 p ∧ q ( ¬ p ) ∨ ( ¬ q ) 例 1 （课本例题 7 ） 已知 a≠0 ， 证明 x 的方程 ax=b 有且只有一个根。 分析：要说明两个方面存在性和唯一性； 唯一性时可以用反证法 探究 3 常见典型题目类型总结： 证明； ( 存在性） a≠0 ，方程 ax=b 至少有一个根 x=b/a 。 （以下为唯一性） [ 补例 2] 　求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°. [ 证明 ] 　 假设 △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 都小于 60° ，即 ∠ A <60° ， ∠ B <60° ， ∠ C <60°. 相加得 ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以 ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 都小于 60° 的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°. [ 例 4] 　求证：当 x 2 ＋ bx ＋ c 2 ＝ 0 有两个不相等的非零实数根时， bc ≠ 0. [ 证明 ] 　 假设 bc ＝ 0 ，则有三种情况出现： (1) 若 b ＝ 0 ， c ＝ 0 ，方程变为 x 2 ＝ 0 ； x 1 ＝ x 2 ＝ 0 是方程 x 2 ＋ bx ＋ c 2 ＝ 0 的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾． (2) 若 b ＝ 0 ， c ≠ 0 ，方程变为 x 2 ＋ c 2 ＝ 0 ，但当 c ≠ 0 时 x 2 ＋ c 2 ≠ 0 与 x 2 ＋ c 2 ＝ 0 矛盾． (3) 若 b ≠ 0 ， c ＝ 0 ，方程变为 x 2 ＋ bx ＝ 0 ，方程的根为 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ b ，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾． 综上所述， bc ≠ 0. [ 说明 ] 　 (1) 反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的． (2) 对于否定性命题或结论中出现 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 不可能 ” 等字样时，常用反证法． 练习 2 变形 练习题讲解： 练习 1 假设 B 不是锐角 练习 2 假设可以成等差数列 1 、直接证明困难，原因何在？ 原因： ①情况很多，分类讨论 ②条件太少直接证明找不到突破口 反证法主要用于以下两种情形： 1 、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。 2 、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用 课堂小结： 我来告诉你 1. 存在性问题 2. 否定性问题 3. 唯一性问题 4. 至多、至少类问题 5. 一些基本命题、基本定理 哪些问题适宜用反证法 总之，直接证明比较困难的命题 大家议一议！ [ 规律方法 ] 　 当结论中含有 “ 不 ” 、 “ 不是 ” 、 “ 不可能 ” 、 “ 不存在 ” 等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾． 名家情系反证法 反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！” --- 德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用 反证法 ， 就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思与收获 你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？ 拓展阅读 — 反证法典型例子 证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由 古希腊 数学家 欧几里德 (Euclid of Alexandria ，生活在 亚历山大城 , 约前 330 ～约前 275, 是古希腊最享有盛名的数学家 ) 在他的不朽著作 《 几何原本 》 里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 2=a1ai(i=1,2……n). 无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！ 作业 : 1. 课本 P44 习题 2.2---3 题 当堂达标练习题 一、选择题 1 ．实数 a 、 b 、 c 不全为 0 的条件为 ( 　　 ) A ． a 、 b 、 c 均不为 0 B ． a 、 b 、 c 中至多有一个为 0 C ． a 、 b 、 c 中至少有一个为 0 D ． a 、 b 、 c 中至少有一个不为 0 [ 答案 ] 　 D [ 解析 ] 　 实数 a 、 b 、 c 不全为 0 就是 a 、 b 、 c 中至少有一个不为 0. [ 答案 ] 　 D 3 ．异面直线在同一个平面的射影不可能是 ( 　　 ) A ．两条平行直线　　　　 B ．两条相交直线 C ．一点与一直线 D ．同一条直线 [ 答案 ] 　 D 二、填空题 4 ．有下列命题： ① 空间四点中有三点共线，则这四点必共面； ② 空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面； ③ 垂直于同一直线的两直线平行； ④ 两组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题是 ________ ． [ 答案 ] 　 ① 5 ．和两条异面直线 AB 、 CD 都相交的两条直线 AC 、 BD 的位置关系是 ________ ． [ 答案 ] 　异面 7. 用反证法证明： 如果 a>b>0 ，那么 再见