【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何素养与能力突破学案 11页

专题8 立体几何 学 思想 训练题组 分类讨论思想 分类讨论思想方法是指在研究和解决数学问题的过程中，根据要研究问题的本质属性，将问题进行分类，然后逐类进行研究与解决，从而达到研究和解决整个问题目的的一种思想方法．是高中数学常用的思想方法．‎ 例 直线上有两点到平面α的距离相等，这条直线和平面α的位置如何？–‎ ‎【解析】（1）若直线上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线在平面α内（如图）‎ ‎（2）若直线上的两点在平面α的两侧，且到平面α的距离相等，这时直线与平面α相交（如图）．‎ ‎1．一条直线和这条直线外三点可以确定平面的个数为（　　）‎ A．1或3　　　 B．1或4　　　‎ C．1、3或4 D．1、3或5‎ ‎2．已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是，则这两个截面间的距离___________．‎ ‎3．设α∥β，，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS=___________．‎ ‎4．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、C．则最短路程为多少．‎ ‎（3）若直线l上的两点在平面α的同一侧，且到平面α的距离相等（如图）．‎ ‎∵AA1⊥α于点A1，BB1⊥α于点B1．又 A、B均在l上，且在α的同侧．∴AA1BB1．‎ ‎∴四边形AA1B1B为一平行四边形．∴AB∥A1B1 ∴这时直线l与平面α平行．‎ ‎【方法技巧】根据直线上的两点与平面的位置不同，分类讨论．‎ 数形结合思想| |X|X| ]‎ 数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，数形结合思想采用了代数方法和几何方法最 好的方面：几何图形形象直观，便于理解；因此，研究数形结合思想是相当必要的．‎ 例 如图，动点P在正方体ABCD–A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）‎ ‎【思路分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN ‎5．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（　　）‎ A． B．‎ C． D． 学 ]‎ ‎6．已知四面体的四个顶点都在球O的球面上，若⊥平面，，且，，则球O的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥 有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．‎ ‎【解析】显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，故答案选B．‎ ‎【答案】B ‎【点评】通过图形，找出数之间的关系是快速解决此题的关键．‎ 的体积为________．‎ ‎8．如图，在四棱锥P–ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．‎ ‎（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P–ABCD的正视图．（要求标出尺寸，并画出演算过程）； 学 ]‎ ‎（2）若M为PA的中点，求证：DM∥面PBC；‎ ‎（3）求三棱锥D–PBC的体积．‎ 转化思想 研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终．‎ 例 如图，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A点．‎ 求：（1）绳子的最短长度的平方f（x）；‎ ‎（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离．‎ ‎9．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A．16π B．20π ‎ C． 24π D．32π ‎10．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．无穷多个 ‎【思路分析】（1）由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式；‎ ‎（2）由于f（x）=x2+16在区间[0，4]上是一个增函数，可得当x=4时，f（x）的最大值等于32．‎ ‎【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在一个平面上，如图，‎ 则图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆锥底面圆的周长，所以L=2πr=2π，所以．‎ 由题意知绳子的最小值为展开图中的AM，其值为AM=（0≤x≤4），‎ 所以f（x）=AM 2=x2+16（0≤x≤4）．‎ ‎（2）绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，‎ 在△SAM中，，‎ 所以（0≤x≤4），‎ ‎11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF．‎ 求证：EF∥平面BB1C1C．‎ ‎12．空间四边形P–ABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点．‎ ‎（1）求BC与平面PAB所成的角；‎ ‎（2）求证：AB⊥平面PMC．‎ ‎ 学 ]‎ 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为（0≤x≤4）． ‎ ‎【方法与技巧】空间几何体表面上距离最小值问题是立体几何的基本问题，其解题思路是将空间几何体的侧面展开，把立体几何问题转化为平面几何问题，然后利用平面几何的知识解决． 学_ _ ]‎ 函数方程思想 函数方程的思想是高中数学的基本思路之一，也会贯穿高中数学乃至高等数学的一根主线，在立体几何中也有着巧妙的应用．‎ 例 如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2所示）．当BD的长为多少时，三棱锥A–BCD的体积最大？‎ ‎【思路分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A–BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；‎ ‎（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角．‎ ‎【解析】如图1所示的△ABC中，设BD＝x（0