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- 2021-06-24 发布
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2016-2017学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.两条直线l1:2x+y+c=0,l2:4x+2y+c=0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.不能确定
2.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为( )
A.12π B.14π C.16π D.20π
3.直线2x﹣2y+1=0的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.120° D.135°
4.已知α是平面,a,b是直线,且a∥b,a⊥平面α,则b与平面α的位置关系是( )
A.b⊂平面α B.b⊥平面α
C.b∥平面α D.b与平面α相交但不垂直
5.已知直线x+(m2﹣m)y=4m﹣1与直线2x﹣y﹣5=0垂直,则m的值为( )
A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.1
6.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
7.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A.0° B.45° C.60° D.90°
8.已知A(2,4)关于直线x﹣y+1=0对称的点为B,则B满足的直线方程为( )
A.x+y=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣5=0 D.x﹣y=0
9.下列四个结论:
①两条直线和同一个平面垂直,则这两条直线平行;
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行;
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行;
④一条直线和一个平面内任意直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
11.圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,则m、n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若直线3x+y+a=0把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0分成面积相等的两部分,则a的值为 .
14.已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为(﹣1,2,﹣1),(3,﹣2,3),则正方体的体积为 .
15.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 .
16.已知直线l:x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,已知E、F两点分别是正方形ABCD边AD、AB的中点,EF交AC于点M,GC垂直于ABCD所在平面.
求证:EF⊥平面GMC.
18.已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x﹣2y﹣1=0.求:
(Ⅰ)直线l的方程;
(Ⅱ)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
19.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC==2,点D是棱AA1的中点.
(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC1;
(2)求三棱锥C1﹣BDC的体积.
20.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为,求圆C的方程.
21.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.
(I)证明:FO∥平面CDE;
(Ⅱ)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.
22.已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
2016-2017学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.两条直线l1:2x+y+c=0,l2:4x+2y+c=0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.不能确定
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】利用斜率存在的两条直线平行或重合的充要条件作出选择.
【解答】解:由直线l1:2x+y+c=0,l2:4x+2y+c=0,可得斜率都等于﹣,
当c=0时,两直线重合;
当c≠0时,两直线相互平行.
综上所述,两直线平行或重合.
故选:C.
2.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为( )
A.12π B.14π C.16π D.20π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图可判断这个几何体为圆柱体,根据题意可知底面半径以及高,易求体积.
【解答】解:综合正视图,侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是圆柱体,且底面圆的半径2,高为4,
那么圆柱体的体积是:π×2×2×4=16π,
故选:C.
3.直线2x﹣2y+1=0的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.120° D.135°
【考点】直线的倾斜角.
【分析】把已知直线的方程变形后,找出直线的斜率,根据直线斜率与倾斜角的关系,即直线的斜率等于倾斜角的正切值,得到倾斜角的正切值,由倾斜角的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数.
【解答】解:由直线2x﹣2y+1=0变形得:y=x+
所以该直线的斜率k=1,
设直线的倾斜角为α,即tanα=1,
∵α∈[0,180°),
∴α=45°.
故选B.
4.已知α是平面,a,b是直线,且a∥b,a⊥平面α,则b与平面α的位置关系是( )
A.b⊂平面α B.b⊥平面α
C.b∥平面α D.b与平面α相交但不垂直
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】只要证明b与平面α内任意一条直线都垂直,利用a∥b,a⊥平面α,可证b⊥α.
【解答】解:设m是α内的任意一条直线
∵a⊥平面α,m⊂α
∴a⊥m
∵a∥b
∴b⊥m
∵m是α内的任意一条直线
∴b⊥α
故选B.
5.已知直线x+(m2﹣m)y=4m﹣1与直线2x﹣y﹣5=0垂直,则m的值为( )
A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】由直线的垂直关系可得2﹣(m2﹣m)=0,解方程可得.
【解答】解:∵直线x+(m2﹣m)y=4m﹣1与直线2x﹣y﹣5=0垂直,
∴2﹣(m2﹣m)=0,解得m=﹣1或2,
故选:C
6.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.
【解答】解:圆的标准方程为M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0),
则圆心为(0,a),半径R=a,
圆心到直线x+y=0的距离d=,
∵圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,
∴2=2=2=2,
即=,即a2=4,a=2,
则圆心为M(0,2),半径R=2,
圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1,
则MN==,
∵R+r=3,R﹣r=1,
∴R﹣r<MN<R+r,
即两个圆相交.
故选:B
7.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A.0° B.45° C.60° D.90°
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】根据异面直线所成角的定义,把直线CN平移和直线B1M相交,找到异面直线B1M与CN所成的角,解三角形即可求得结果.在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法.
【解答】解:去AA1的中点E,连接EN,BE角B1M于点O,
则EN∥BC,且EN=BC
∴四边形BCNE是平行四边形
∴BE∥CN
∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角,
而Rt△BB1M≌Rt△ABE
∴∠ABE=∠BB1M,∠BMB1=∠AEB,
∴∠BOM=90°.
故选D.
8.已知A(2,4)关于直线x﹣y+1=0对称的点为B,则B满足的直线方程为( )
A.x+y=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣5=0 D.x﹣y=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】设B(a,b),由A(2,4)关于直线x﹣y+1=0对称的点为B,列出方程组,求出B(3,3),由此能求出结果.
【解答】解:设B(a,b),
∵A(2,4)关于直线x﹣y+1=0对称的点为B,
∴,解得a=3,b=3,
∴B(3,3),
在A中,3+3≠0,故A错误;
在B中,3﹣3+2≠0,故B错误;
在C中,3+3﹣5≠0,故C错误;
在D中,3﹣3=0,故D正确.
故选:D.
9.下列四个结论:
①两条直线和同一个平面垂直,则这两条直线平行;
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行;
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行;
④一条直线和一个平面内任意直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在①中,根据线面垂直的性质,可得正确;在②没有公共点的两条直线平行或异面;在③中,垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面;④根据线面平行的定义可以判断.
【解答】解:①两条直线都和同一个平面垂直,则这两条直线平行,根据线面垂直的性质,可得正确;
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面,故错误;
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行、相交或异面,故错误;
④一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行,故正确.
故选:C.
10.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意可知,几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,依次求表面积即可.
【解答】解:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π
故选D.
11.圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径,求出圆心到已知直线的距离,判断即可得到距离.
【解答】解:圆方程变形得:(x+1)2+(y+2)2=8,即圆心(﹣1,﹣2),半径r=2,
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==,
∴r﹣d=<,
则到圆上到直线x+y+1=0的距离为的点得到个数为2个,
故选B.
12.平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,则m、n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】画出图形,判断出m、n所成角,求解即可.
【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,
可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.
则m、n所成角的正弦值为:.
故选:A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若直线3x+y+a=0把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0分成面积相等的两部分,则a的值为 ﹣5 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由题意可得可得直线过圆心,将圆心坐标(1,2)代入直线3x+y+a=0化简,即可求得a的值.
【解答】解:由题意可得直线过圆心,将圆心坐标(1,2)代入直线3x+y+a=0,
可得3+2+a=0,求得:a=﹣5,
故答案为﹣5.
14.已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为(﹣1,2,﹣1),(3,﹣2,3),则正方体的体积为 64 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知求出正方体的体对角线长,进一步求出棱长,则正方体的体积可求.
【解答】解:由题意可知,正方体的体对角线长为,
设正方体的棱长为a,则,得a=4.
∴正方体的体积为43=64.
故答案为:64.
15.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 9 .
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可得此几何体为三棱锥,且可得到底面面积和体高,从而求体积.
【解答】解;此几何体为三棱锥,
底面面积S==9,
体高为3,则此几何体的体积为==9.
故答案为9.
16.已知直线l:x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= 4 .
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】先求出|AB|,再利用三角函数求出|CD|即可.
【解答】解:由题意,圆心到直线的距离d==3,
∴|AB|=2=2,
∵直线l:x﹣y+6=0
∴直线l的倾斜角为30°,
∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,
∴|CD|==4.
故答案为:4.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,已知E、F两点分别是正方形ABCD边AD、AB的中点,EF交AC于点M,GC垂直于ABCD所在平面.
求证:EF⊥平面GMC.
【考点】直线与平面垂直的判定.
【分析】连接BD交AC于O,由正方形的几何特点,三角形的中位线定理,及已知中GC垂直于ABCD所在平面,我们易得到EF⊥AC,EF⊥GC,进而由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面GMC.
【解答】证明:如图,连接BD交AC于点O,
∵E,F是正方形ABCD边AD、AB的中点,AC⊥BD,
∴EF⊥AC,
又∵GC⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∵AC∩GC=C,
∴EF⊥平面GMC.
18.已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x﹣2y﹣1=0.求:
(Ⅰ)直线l的方程;
(Ⅱ)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
【考点】直线的一般式方程;两条直线的交点坐标.
【分析】(Ⅰ)联立两直线方程得到方程组,求出方程组的解集即可得到交点P的坐标,根据直线l与x﹣2y﹣1垂直,利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1,可设出直线l的方程,把P代入即可得到直线l的方程;
(Ⅱ)分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距,然后根据三角形的面积函数间,即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【解答】解:(Ⅰ)由解得由于点P的坐标是(﹣2,2).
则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直,可设直线l的方程为2x+y+m=0.
把点P的坐标代入得2×(﹣2)+2+m=0,即m=2.
所求直线l的方程为2x+y+2=0.
(Ⅱ)由直线l的方程知它在x轴.y轴上的截距分别是﹣1.﹣2,
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积.
19.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC==2,点D是棱AA1的中点.
(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC1;
(2)求三棱锥C1﹣BDC的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)由题设证明BC⊥平面ACC1A1,可得DC1⊥BC,再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°,得∠CDC1=90°,即C1D⊥DC,结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC,从而得到平面BDC1⊥平面BDC;
(2)求解直角三角形可得,得到Rt△CDC1的面积,再由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积.
【解答】(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,又AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1,
又∵DC1⊂平面ACC1A1,∴DC1⊥BC,
∵∠ADC=∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90°,即C1D⊥DC,
∵DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC,又∵DC1⊂平面BDC1,
平面BDC1⊥平面BDC;
(2)解:由,得AA1=4,∴AD=2,
∴,
则Rt△CDC1的面积,
∴.
20.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为,求圆C的方程.
【考点】圆的标准方程;直线与圆的位置关系.
【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,然后过圆心作出弦的垂线,根据垂径定理得到垂足为弦的中点,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d,由弦长的一半,圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.
【解答】解:设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,
则圆心到直线y=x的距离d==|t|,
由勾股定理及垂径定理得:()2=r2﹣d2,即9t2﹣2t2=7,
解得:t=±1,
∴圆心坐标为(3,1),半径为3;圆心坐标为(﹣3,﹣1),半径为3,
则(x﹣3)2+(y﹣1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
21.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.
(I)证明:FO∥平面CDE;
(Ⅱ)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)取CD中点M,证明四边形EFOM为平行四边形,得到 FO∥EM,从而证明FO∥平面CDE.
(Ⅱ) 证明平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM,证明CD⊥平面EOM,可得CD⊥EO,进而证得EO⊥平面CDF.
【解答】证明:(Ⅰ)证明:取CD中点M,连接OM.
在矩形ABCD中,OM∥BC,且 OM=BC,又 EF∥BC,且 EF=BC,
则 EF∥OM,EF=OM,连接EM,于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.
又 FO不在平面CDE内,且 EM在平面CDE内,∴FO∥平面CDE.
(Ⅱ)证明:连接FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,CM=DM,EM⊥CD,
且 EM=CD= BC=EF,因此,平行四边形EFOM为菱形,从而,EO⊥FM,而FM∩CD=M,
∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO.而FM∩CD=M,所以,EO⊥平面CDF.
22.已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】(1)将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径,再求得圆心C到直线l的距离,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得:L=2
最后由二次函数法求解.
(2)由直线l与圆C相切,建立m与a的关系,|m﹣2a|=2,再由点C在直线l的上方,去掉绝对值,将m转化为关于a二次函数求解.
【解答】解:(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y﹣a)2=4a(0<a≤4),
则圆心C的坐标是(﹣a,a),半径为2.
直线l的方程化为:x﹣y+4=0.则圆心C到直线l的距离是=|2﹣a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是:
L=2
∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.
(2)因为直线l与圆C相切,则有,
即|m﹣2a|=2.
又点C在直线l的上方,∴a>﹣a+m,即2a>m.
∴2a﹣m=2,∴m=﹣1.
∵0<a≤4,∴0<≤2.
∴m∈[﹣1,8﹣4].