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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省厦门六中高三(上)期中数学试卷(文科)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1.sin300°的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
2.设a,b∈R,则使a>b成立的一个充分不必要条件是( )
A.a3>b3 B.log2(a﹣b)>0 C.a2>b2 D.
3.若数列{an}满足:an+1=1﹣且a1=2,则a2009等于( )
A.1 B. C. D.
4.在数列{an}中,an=2n+3,前n项和Sn=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b,c为常数,则a﹣b+c=( )
A.﹣3 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣6
5.设m、n表示不同直线,α、β表示不同平面,下列命题正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n∥β D.若α⊥β,m⊥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
6.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且c>b>a,若向量=(a﹣b,1),=(b﹣c,1)平行,且sinB=,则当△ABC的面积为时,B=( )
A. B.2 C.4 D.2+
7.一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )
A.2+ B.1+ C.2+2 D.4+
8.已知平面上四个互异的A,B,C,D满足(﹣)•(2﹣﹣)=0,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.斜三角形
9.已知点A(1,1)和坐标原点O,若点B(x,y)满足,则x2+y2﹣2x﹣2y的最小值是( )
A.﹣2 B.3 C. D.5
10.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.设α、β、γ为三个不同的平面,m、n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有( )
A.①或③ B.①或② C.②或③ D.①或②或③
12.已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a、b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最小值,则函数y=f(﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点对称
D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
13.已知tanθ=,则sin2θ﹣2cos2θ= .
14.已知x≥0,y≥0,且x+2y=1,则的最小值等于 .
15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
16.等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式 x2+(a1﹣)x+c≥0的解集为[0,22],则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是 .
三.解答题:本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
17.设集合A={x|x2<4},B={x|>1}.
(1)求集合A∩B;
(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B,求a,b的值.
18.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x+a﹣1(a为常数),若函数f(x)的最大值为+1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)所有对称中心的坐标;
(3)求函数g(x)=f(x+π)+2减区间.
19.已知数列{an}的前n项和Sn=n(n﹣1),且an是bn与1的等差中项.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn.
20.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
21.如图,多面体ABCDEFG中,面ABCD为正方形,AE,BF,DG均垂直于平面ABCD,且AB=AE=4,BF=DG=2,M,N分别为AB,BC的中点.
(1)若P为BF的中点,证明NP∥平面EGM;
(2)求三棱锥N﹣EGM体积.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
2016-2017学年福建省厦门六中高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
1.sin300°的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】把300°变为360﹣60,利用诱导公式sin=sinα及正弦函数为奇函数化简,再利用特殊角的三角函数值即可得到结果.
【解答】解:sin300°
=sin
=﹣sin60°
=﹣.
故选D
2.设a,b∈R,则使a>b成立的一个充分不必要条件是( )
A.a3>b3 B.log2(a﹣b)>0 C.a2>b2 D.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】要求a>b成立的一个充分不必要条件,则要求一个条件能够推出a>b成立,但是反之不成立,针对于四个选项进行分析,得到结果.
【解答】解:要求a>b成立的一个充分不必要条件,
则要求一个条件能够推出a>b成立,但是反之不成立,
选项A是充要条件,选项B是a﹣b>1是充分不必要条件,选项C,D既不充分又不必要,
故选B
3.若数列{an}满足:an+1=1﹣且a1=2,则a2009等于( )
A.1 B. C. D.
【考点】数列递推式.
【分析】由,a1=2,令n=1,2,3,分别求出a2,a3,a4,观察它们的结果可知{an}是周期为3的周期数列,由此可以得到a2009的值.
【解答】解:∵,a1=2,
∴令n=1,得,
令n=2,得,
令n=3,得,
∴{an}是周期为3的周期数列,
∵2009=666×3+1,
∴.
故选D.
4.在数列{an}中,an=2n+3,前n项和Sn=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b,c为常数,则a﹣b+c=( )
A.﹣3 B.﹣4 C.﹣5 D.﹣6
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】把n等于1代入an=2n+3求出数列的首项,然后利用等差数列的前n项和的公式根据首项和第n项表示出前n项的和,得到前n项的和为一个关于n的多项式,根据多项式相等时,各对应的系数相等即可求出a,b,c的值,即可求出a﹣b+c的值.
【解答】解:令n=1,得到a1=2+3=5,
所以,
而Sn=an2+bn+c,则an2+bn+c=n2+4n,
所以a=1,b=4,c=0,
则a﹣b+c=1﹣4+0=﹣3.
故选A
5.设m、n表示不同直线,α、β表示不同平面,下列命题正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n∥β D.若α⊥β,m⊥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】选项A中还有直线n在平面α上的情况,选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行,选项C中还有n⊂β,D选项中注意到上面忽略的细节.
【解答】解:选项A中还有直线n在平面α上的情况,故A不正确,
选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行,故B不正确,
选项C中还有n⊂β,故C不正确,
故选D.
6.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且c>b>a,若向量=(a﹣b,1),=(b﹣c,1)平行,且sinB=,则当△ABC的面积为时,B=( )
A. B.2 C.4 D.2+
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】利用向量共线的充要条件得a,b,c的关系,利用三角形的面积公式得到a,b,c的第二个关系,利用三角形的余弦定理得到第三个关系,解方程组求出b.
【解答】解:由向量和共线知a+c=2b①,
由②,
由c>b>a知角B为锐角,③,
联立①②③得b=2.
故选项为B
7.一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )
A.2+ B.1+ C.2+2 D.4+
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图中,三个视图的对应关系:长对正,高平齐,宽相等,得出侧视图的数据,再求面积.
【解答】解:根据三视图中,三个视图的对应关系:长对正,高平齐,宽相等,得出侧视图的数据如图中所示
其面积S=×2+2×2=4+
故选D.
8.已知平面上四个互异的A,B,C,D满足(﹣)•(2﹣﹣)=0,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.斜三角形
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(﹣)•(2﹣﹣)=0,化为•=0,取BC的中点E,则.可得CB⊥AE,且BE=EC.即可判断出.=AC.
【解答】解:(﹣)•(2﹣﹣)=0,
化为•=0,
取BC的中点E,则.
∴=0,
∴CB⊥AE,且BE=EC.
∴AB=AC.
∴△ABC的形状是等腰三角形.
故选:B.
9.已知点A(1,1)和坐标原点O,若点B(x,y)满足,则x2+y2﹣2x﹣2y的最小值是( )
A.﹣2 B.3 C. D.5
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论
【解答】解:点B(x,y)满足,对应的平面区域如:x2+y2﹣2x﹣2y=(x﹣1)2+(y﹣1)2﹣2,表示A到区域内的点距离的平方减去2,所以A到直线x+2y=8的距离为最小距离,所以(x﹣1)2+(y﹣1)2﹣2最小值为=3;
故选B.
10.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】展开图复原几何体,标出字母即可找出异面直线的对数.
【解答】解:画出展开图复原的几何体,所以C与G重合,F,B重合,
所以:四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有:
AB与GH,AB与CD,GH与EF,
共有3对.
故选:C
11.设α、β、γ为三个不同的平面,m、n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有( )
A.①或③ B.①或② C.②或③ D.①或②或③
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】分析选项,即可得出结论.
【解答】解:由面面平行的性质定理可知,①正确;
当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.
故选C.
12.已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a、b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最小值,则函数y=f(﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点对称
D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】先对函数f(x)运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期,根据正弦函数的最值和取得最值时的x的值可求出函数的解析式,进而得到答案.
【解答】解:已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a、b为常数,a≠0,x∈R),
∴的周期为2π,若函数在处取得最小值,不妨设,
则函数=,
所以是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称,
故选:D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
13.已知tanθ=,则sin2θ﹣2cos2θ= ﹣ .
【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanθ=,
则sin2θ﹣2cos2θ===﹣,
故答案为:﹣.
14.已知x≥0,y≥0,且x+2y=1,则的最小值等于 .
【考点】基本不等式.
【分析】由于=+=2+++6,利用基本不等式求出它的最小值.
【解答】解:x≥0,y≥0,且x+2y=1,则=+=2+++6≥8+2=,
当且仅当y=x时,等号成立.
故的最小值等于,
故答案为.
15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,再根据公式求解即可.
【解答】解:由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,
三棱柱的体积V1为:
剪去的三棱锥体积V2为:
所以几何体的体积为:
16.等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式 x2+(a1﹣)x+c≥0的解集为[0,22],则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是 11 .
【考点】数列的函数特性.
【分析】根据已知中等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式++c≥0的解集为[0,22],我们根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正,公差为负,及首项与公差之间的比例关系,进而判断出数列项的符号变化分界点,即可得到答案.
【解答】解:∵关于x的不等式++c≥0的解集为[0,22],
∴22=,且<0,
即>0,
则a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0,
故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11.
故答案为:11.
三.解答题:本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
17.设集合A={x|x2<4},B={x|>1}.
(1)求集合A∩B;
(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B,求a,b的值.
【考点】一元二次不等式的解法;交集及其运算.
【分析】利用一元二次不等式的解法分别化简A,B.
(1)利用交集的运算即可得出;
(2)2x2+ax+b<0的解集为B={x|﹣3<x<1},可得﹣3和1为2x2+ax+b=0的两根,再利用根与系数的关系即可得出.
【解答】解:A={x|x2<4}={x|﹣2<x<2},
由化为0,∴(x+3)(x﹣1)<0,解得﹣3<x<1.
∴B={x|>1}={x|﹣3<x<1}.
(1)A∩B={x|﹣2<x<1};
(2)∵2x2+ax+b<0的解集为B={x|﹣3<x<1},
∴﹣3和1为2x2+ax+b=0的两根,
故,
解得a=4,b=﹣6.
18.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x+a﹣1(a为常数),若函数f(x)的最大值为+1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)所有对称中心的坐标;
(3)求函数g(x)=f(x+π)+2减区间.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)利用两角和与差的正弦、辅助角公式可化简f(x)=sin(2x+)+a,再由f(x)max=+1即可求得实数a的值;
(2)由2x+=kπ(k∈Z)可求得函数f(x)所有对称中心的坐标;
(3)化简函数g(x)=f(x+π)+2=﹣sin2x+3,再由2kπ﹣≤2x≤2kπ+(k∈Z)即可求得函数g(x)=f(x+π)+2减区间.
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x+a﹣1
=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
=sin(2x+)+a,…
由f(x)max=+1得a=1 …
(2)由2x+=kπ(k∈Z)得:x=π﹣(k∈Z),
所以,函数f(x)所有对称中心的坐标为(π﹣,1),k∈Z.…
(3)g(x)=f(x+π)+2=sin[2(x+)+]+1+2
=﹣sin2x+3,…
由2kπ﹣≤2x≤2kπ+(k∈Z)得:
单调递减区间为[kπ﹣,kπ+](k∈Z) …
19.已知数列{an}的前n项和Sn=n(n﹣1),且an是bn与1的等差中项.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)当n=1时,a1=S1=0,当n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(n﹣2),an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得数列{an}通项公式,由2an=1+bn,求得bn=2n﹣3;
(2)由(1)可知:cn==(﹣)(n≥2),采用“裂项法”即可求得c2+c3+c4+…+cn的值.
【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=0,
当n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(n﹣2),
∴an=Sn﹣Sn﹣1=[n(n﹣1)]﹣[(n﹣1)(n﹣2)]=n﹣1,
当n=1时,成立,
故an=n﹣1;
an是bn与1的等差中项,
∴2an=1+bn,
∴bn=2n﹣3,
数列{an}通项公式an=n﹣1,数列{bn}的通项公式bn=2n﹣3;…
(2)因为cn===(﹣)(n≥2),…
∴c2+c3+c4+…+cn.
=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣),
=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣),
=﹣.
c2+c3+c4+…+cn=﹣.…
20.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元,列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y.利用线性规划或不等式的性质求最值即可.
【解答】解:设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元,则,
设z=x+0.5y=0.25(x+y)+0.25(3x+y)≤0.25×10+0.25×18=7,
当即时,z取最大值7万元
答:投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时,才能使可能的盈利最大.
21.如图,多面体ABCDEFG中,面ABCD为正方形,AE,BF,DG均垂直于平面ABCD,且AB=AE=4,BF=DG=2,M,N分别为AB,BC的中点.
(1)若P为BF的中点,证明NP∥平面EGM;
(2)求三棱锥N﹣EGM体积.
【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】(1)取AE的中点H,根据面BCF∥面ADGE推出PN∥EG,根据直线与平面的性质定理可知PN∥面EGM;
(2)将三棱锥N﹣EGM体积转化成VN﹣EGM=VP﹣EGM=VG﹣EMP=VD﹣EMP,又AD⊥面ABEF,DC∥AE,再根据三棱锥的体积公式进行求解即可.
【解答】解:(1)取AE的中点H,由题意知,BF∥AE,BC∥AD
∴面BCF∥面ADGE,
∴FC∥HD∥EG,又PN∥FC,
∴PN∥EG.
∴PN∥面EGM
(2)∵PN∥面EGM,
∴VN﹣EGM=VP﹣EGM=VG﹣EMP=VD﹣EMP,
又AD⊥面ABEF,DC⊥AE,
∴.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.
(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.
【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,
∴x2+y2=2y.
同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,
联立,
解得,,
∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.
(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),
∵A,B都在C1上,
∴A(2sinα,α),B.
∴|AB|==4,
当时,|AB|取得最大值4.
2016年11月22日