广东省深圳市外国语学校2020届高三4月综合能力测试数学（理）试卷 14页

数学（理）试卷 本试卷分必做题和选做题两部分．满分分，考试时间分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．客观题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．‎ ‎2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．‎ ‎3．考试结束后，监考员将答题卡收回 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1.设全集，集合,, 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设是平面，是空间两条不重合的直线，且则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ） ‎ ‎4．欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎5.平面向量与的夹角为60°，且，为单位向量，则（ ）‎ A. B. C. 19 D. ‎ ‎6.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图像大致是( )‎ ‎8．已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为，则　（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图, 其中的4个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数, 且函数在上单调递增, 则正数的最大值为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 不确定 ‎12．已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.‎ 若用此数据计算得到回归直线，则由此估计当鞋码为时身高约为__________.‎ ‎14.已知，则二项式的展开式中的系数为 .‎ ‎15． 中，角所对应的边分别为，已知，，‎ ‎，则 ‎ ‎16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)已知递增等差数列{}满足，数列{}满足.（Ⅰ）求{}的前项和；（Ⅱ）若，求数列{}的通项公式.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角为.求.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程，（Ⅱ）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点．求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.‎ 方案 防控等级 费用(单位: 万元)‎ 方案一 无措施 ‎0‎ 方案二 防控1级灾害 ‎40‎ 方案三 防控2级灾害 ‎100‎ ‎20.（本小题满分12分） 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙) 所示.（Ⅰ）以此频率作为概率, 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;（Ⅱ）该河流域某企业, 在8月份, 若没受1、2级灾害影响, 利润为500万元; 若受1级灾害影响, 则亏损100万元; 若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. ‎ 21． ‎（本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为，(Ⅰ)求的值 ，(Ⅱ)已知为正数,且,证明: .‎ 数学（理）试卷答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1.设全集，集合,, 则（C. ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设是平面，是空间两条不重合的直线，且则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.【答案】B.【解析】.‎ ‎3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ） ‎ ‎3.【答案】D【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选D. ‎ ‎4．欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎4.【答案】A．【解析】‎ ‎5.平面向量与的夹角为60°，且，为单位向量，则（ B ）‎ A. B. C. 19 D. ‎ ‎6.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ C ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图像大致是( )‎ ‎7.【答案】【解析】当时，单调递增排除，当时单调递减.‎ ‎8．已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为，则　（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.【答案】B.‎ ‎9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图, 其中的4个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．【答案】B.【详解】如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个 圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故 ‎∴黑色部分面积，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为，故选：B．‎ ‎10. 已知函数, 且函数在上单调递增, 则正数的最大值为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 10. ‎【答案】D. 【详解】依题意，又函数在上单调递增，，，，即，，得 ‎11.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于两点，则直线的斜率之积（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 不确定 ‎12.【答案】 A.【解析】点的轨迹方程为 ‎12．已知正四面体的棱长为，分别是上的点，过作平面，使得均与平行，且到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎12. C【解析】将正四面体补形成棱长为6的正方体，则的外接球球心即为正方体的中心，故球的半径,且与面平行，到面的距离分别为和，此时到的距离为，故被球 所截圆半径，从而截面圆的面积为.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.‎ 若用此数据计算得到回归直线，则由此估计当鞋码为时身高约为__________.‎ ‎13. 【解析】，将代入回归直线可得，故当鞋码为时身高约为.‎ ‎14.已知，则二项式的展开式中的系数为 .‎ ‎14.【答案】.【解析】∴二项式的展开式中的系数为.‎ ‎15． 中，角所对应的边分别为，已知，，‎ ‎，则 ‎ ‎15. .【解析】，，，，.‎ ‎16.若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎16.【答案】【解析】‎ 当且仅当时取等号；所以.‎ 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)已知递增等差数列{}满足，数列{}满足.（Ⅰ）求{}的前项和；（Ⅱ）若 ‎，求数列{}的通项公式.‎ 解：(Ⅰ)设数列{}公差为，由 解得:,所以 ‎(Ⅱ)‎ ‎18.(本小题满分12分)如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，使得，得到四棱锥.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角为.，求.‎ ‎【解析】（I）在图1中，易证四边形为正方形，所以即在图2中， ，，从而为平面与平面所成二面角的平面角，又由知，所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知由，平面平面，且平面平面 ，又，所以平面，‎ 如图，以为原点，建立空间直角坐标系，得：‎ 由得，‎ ‎ ，设平面的法向量，则，得，取，又，‎ 从而.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切,（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程，（Ⅱ）过点的直线交曲线于两点，直线分别交直线于点和点．求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.‎ 解：（Ⅰ）易知到点的距离与到直线的距离相等，‎ 所以的轨迹方程为：（4分）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不与轴重合，设直线方程为：，与联立消得：，设，则，直线方程为：，所以即，同理，所以以为直径的圆方程为：，令得：，‎ 即，‎ 以为直径的圆经过轴上的两个定点和.(12分)‎ 方案 防控等级 费用(单位: 万元)‎ 方案一 无措施 ‎0‎ 方案二 防控1级灾害 ‎40‎ 方案三 防控2级灾害 ‎100‎ ‎20.（本小题满分12分） 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙) 所示.（Ⅰ）以此频率作为概率, 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;（Ⅱ）该河流域某企业, 在8月份, 若没受1、2级灾害影响, 利润为500万元; 若受1级灾害影响, 则亏损100万元; 若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎18．解：（Ⅰ）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：‎ ‎，‎ ‎． ‎ 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以． 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．‎ 则 ‎．‎ 估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为． ‎ ‎（Ⅱ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为： ，由（1）知 ‎．‎ 的分布列为 X1‎ ‎500‎ ‎－100‎ ‎－1000‎ P ‎0.81‎ ‎0.155‎ ‎0.035‎ 则该企业在8月份的利润期望 ‎（万元）．‎ 选择方案二，则（万元）的取值为： ，由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ X2‎ ‎460‎ ‎－1040‎ P ‎0.965‎ ‎0.035‎ 则该企业在8月份的平均利润期望（万元）‎ 选择方案三，则该企业在8月份的利润为： （万元）由于，因此企业应选方案二．‎ 21． ‎（本小题满分12分）已知函数有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：‎ ‎21．【解析】（Ⅰ）由已知，，则为在的两个不同的零点，且，故当时，当时，所以当时单调递增，当时单调递减.故当在有两不同的实根时，，解得 ‎（Ⅱ）不妨假设，则，时，‎ 所以在单调递减，‎ 故 而，‎ 设，则 因为时，故，‎ 所以在单调递减，故有，即成立，‎ 即，从而，‎ 即 综上所述 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离。‎ 解:(Ⅰ)直线的参数方程化为标准型（为参数）代人曲线方程得：‎ 设，对应的参数分别为，则所以 ‎；‎ ‎(Ⅱ)点的直角坐标为在直线上．中点对应的参数为 所以点到线段中点的距离。‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为，(Ⅰ)求的值 ，(Ⅱ)已知为正数,且,证明: .‎ 解：(Ⅰ)，所以 ‎(Ⅱ)由，同理 则，‎ 即当且仅当时等号成立