数学文卷·2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模考试（2017 9页

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设非空集合满足，则（ ）‎ A．，有 B．，有 ‎ ‎ C．，使得 D．，使得 ‎3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．或 B．或 C. D．‎ ‎ 6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，且，则实数 ．‎ ‎14. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为，由以上信息，得到下表中的值为 ．‎ 天数（天）‎ 繁殖个数（千个）‎ ‎15. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是 ．‎ ‎16. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设函数.‎ ‎（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；‎ ‎（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.‎ ‎18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.‎ 寿命 (天)‎ 频数 频率 合计 ‎（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；‎ ‎（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；‎ ‎（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.‎ ‎（1）求证: ；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎21. 已知，函数. ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明: 存在，使；‎ ‎（3）若存在属于区间的，且，使，证明:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.‎ ‎（1）直线与曲线交于两点，求；‎ ‎（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式证明选讲 已知函数，且恒成立.‎ ‎（1）求实数的最大值；‎ ‎（2）当取最大时，求不等式的解集.‎ 黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模 数学（文）试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:DBABB 6-10: CBCAD 11-12：CD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1),的最大值为，此时的集合是.‎ ‎(2)由题意，，即，化简得 ‎.在中，由余弦定理，，由知，即.当时，取最小值.‎ ‎18. 解：(1)根据频率分布表中的数据，得.‎ ‎(2) 设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件.由表可知：这批灯泡中优等品有个，正品有个，次品有个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为 ‎.‎ ‎（3）由（2）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为.所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为 ‎19. 解：(1)底面为菱形，底面面面.‎ ‎(2)设，设到平面的距离为，则由题意，，在等腰中，可求，，‎ ‎.‎ ‎20. 解：(1) 已知椭圆的离心率为，不妨设，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，其中 为的周长，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，解得，则椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为，联立，可得，则，直线的方程为；直线的方程为，则 ‎，假设以为直径的圆恒过定点，则，‎ ‎，，‎ 即，，即，若以为直径的圆恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此或，即恒过定点或.‎ ‎21. 解：(1)由题意得函数的定义域为，当时，，则函数在上单调递增；当时，，由得，由得，在上单调递增；在上单调递减，‎ 综上所述，结论是时，函数的单调增区间为；时，函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，又在上的值域为，存在，使 ‎，综上所述，结论证明成立.‎ ‎（3），由（1）知，又，所以，‎ 所以，即，所以.‎ ‎22. 解：(1)曲线，曲线与直线联立得，方程两根为，则.‎ ‎(2)设矩形的第一象限的顶点为，所以，所以当时，最大值为.‎ ‎23. 解：（1）因为，且恒成立，所以只需，又因为，所以，即的最大值为.‎ ‎（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得；综上可得，原不等式的解集是.‎